Teoria Equação Biquadrada

$1-$ Dada a equação $x ^4 – 4x^2 + 3=0$ vamos resolvê-la utilizando o Método da Mudança de Variável.

Vamos lá !

Primeiro, vamos substituir $x^2$ pela variável $t$ e assim obter a equação:

\begin{align}
t^2 – 4t + 3 &= 0
\end{align}

E aplicando a Fórmula de Bhaskara determinamos $t_1=3$ e $t_2=1$

Agora, como $x^2=t$:

\begin{align}
x^2 &= t_1=3 \\
x &= \pm \sqrt3
\end{align}

E ainda:

\begin{align}
x^2 &=t_2=1 \\
x &= \pm \sqrt1= \pm1
\end{align}

Logo, $S= \{ – \sqrt3, – 1, 1, \sqrt3 \}$

$2-$ Dada a equação biquadrada $y^4 – 10y^2 + 9=0$, vamos resolvê-la.

Substituindo $y^2=t$ na equação acima, podemos escrever:

\begin{align}
t^2 – 10t + 9&=0
\end{align}

Agora, usando a Fórmula de Bháskara determinamos $t_1=9$ e $t_2=1$ e como $y^2=t$:

\begin{align}
y^2 &= t_1=9 \\
y&= \pm \sqrt{9}=\pm 3
\end{align}

E ainda,

\begin{align}
y^2 &= t_2=1 \\
y&= \pm \sqrt{1}= \pm 1
\end{align}

Logo, $S= \{ – 3, – 1, 1, 3 \}$

$3-$ Resolva a equação $\large \frac{6}{x^2} + x^2=5$, sendo $U= \mathbb{R} ^*$

Primeiro, vamos determinar $ M M C $:

\begin{align}
\large \frac{6}{x^2} + x^2 – 5&=0 \\ \\
\large \frac{6 + x^4}{x^2} – \large \frac{5x^2}{x^2}&=0 \\ \\
x^4 – 5x^2 + 6&=0
\end{align}

Agora, vamos substituir $x^2 =p$:

\begin{align}
p^2 – 5p + 6&=0
\end{align}

E usando Bháskara determinamos $p_1=3$ e $p_2=2$.

E como $x^2=p$:

\begin{align}
x^2&=p_1=3 \\
x&=\pm \sqrt3
\end{align}

E ainda,

\begin{align}
x^2&=p_2=2 \\
x&=\pm \sqrt2
\end{align}

Logo, $S= \{ – \sqrt3, – \sqrt2, \sqrt2,\sqrt3 \}$

$4-$ Quantas raízes reais tem a equação $(x^2 – 3)^2 + (2x^2 – 1)^2=85$?

Primeiro, vamos desenvolver os Produtos Notáveis:

$(x^2 – 3)^2= x^4 – 6x^2 + 9$

$(2x^2 – 1)^2= 4x^4 – 4x^2 + 1$

Assim,

\begin{align}
x^4 – 6x^2 + 9 + 4x^4 – 4x^2 + 1 &= 85 \\
5x^4 – 10x^2 + 10&=85 \\
5x^4 – 10x^2 + 10 – 85&=0 \\
5x^4 – 10x^2 – 75&=0
\end{align}

Agora, vamos substituir $x^2=t$ na equação acima:

\begin{align}
5t^2 – 10t – 75 &= 0
\end{align}

E resolvendo a equação acima pela Fórmula de Bháskara determinamos $t_1=5$ e $t_2= – 3$.

Repare que somente $t_1$ satisfaz a condição das raízes reais.

Logo, a equação dada tem duas raízes reais:

\begin{align}
x^2 &= t_1=5 \\
x &= \pm \sqrt 5
\end{align}