Teoria Equação

Para resolver a equação, deve-se aplicar de maneira sucessiva as propriedades e operações disponíveis no conjunto universo, até que os elementos desconhecidos fiquem isolados.

A princípio, aplica-se as operações básicas $(+,-,\times, :)$, mas em certos casos são necessárias outras funções como raiz quadrada, potência, logaritmo, funções trigonométricas etc.

$$2x + 1 = 5$$

Para resolver, devemos eliminar o $1$ do lado esquerdo da igualdade, subtraindo $1$ dos dois lados. Isto é:

$$\begin{align} 2x + 1 &= 5 \\ 2x + 1 – 1 & = 5 – 1 \\ 2x + 0 &= 4 \\ 2x &= 4 \end{align}$$

Para isolar o $x$, deve-se dividir ambos lados da igualdade por $2$.

$$\begin{align} \frac{2x}{2} &= \frac{4}{2} \\ x &= 2 \end{align}$$

Assim, determinamos o valor da incógnita $x$ que satisfaz a equação. Ou seja, quando $x=2$

$$ 2x + 1 = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5, $$

exatamente como queríamos.

O conjunto verdade, também chamado de conjunto solução, que reúne todos os elementos que satisfazem a equação, é:

$$ S = \{ 2 \} $$

Uma equação que apresenta a incógnita em pelo menos um dos denominadores é chamada Equação Fracionária:

\begin{align}
\frac{7}{x – 1} + \frac{7}{x} &= 0
\end{align}

Primeiramente, precisamos determinar as Condições de Existência desta equação, garantindo que o denominador de cada fração seja diferente de $0$.

Condição de Existência :

\begin{align}
x – 1&\neq 0 \\
x &\neq 1 \\ \\
x &\neq 0
\end{align}

Agora, sabendo-se que o $m.m.c.$ dos denominadores é $(x – 1) \cdot x$, vamos determinar $x$:

\begin{align}
\frac{7x}{x \cdot (x – 1)} + \frac{7 \cdot (x – 1)}{x \cdot (x – 1)} &= 0 \\ \\
7x + 7x – 7 &=0 \\
14x &= 7 \\
x&= \frac{7}{14}= \frac{1}{2}
\end{align}

Como o resultado $x= \large \frac{1}{2}$ cumpre as Condições de Existência:

$$S=\{ \large \frac{1}{2} \}$$

Resolver a equação

\begin{align}
\large \frac{3}{x + 2} &= \large \frac{1}{x – 2} – \large \frac{4}{x^{2} – 4}
\end{align}

Primeiro, vamos resolver a Condição de Existência que são todos os números reais que não anulam quaisquer dos denominadores.

\begin{align}
x + 2 & \neq 0 \Leftrightarrow x\neq – 2 \\
x – 2 & \neq 0 \Leftrightarrow x\neq 2 \\
x^2 – 4 &\neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2
\end{align}

Agora, vamos calcular M M C entre $(x + 2)$, $(x – 2)$ e $(x + 2) \cdot (x – 2)$ que é $(x + 2) \cdot (x – 2)$.

\begin{align}
\large \frac{3 \cdot (x – 2)}{ (x + 2)(x – 2)} &= \large \frac{x + 2 }{ (x + 2)(x – 2)} – \large \frac{4}{ (x + 2)(x – 2)}
\end{align}

Após determinarmos o M M C da equação, vamos calcular $x$ considerando somente o numerador da equação. Vamos lá !

\begin{align}
3 \cdot (x – 2) &= x + 2 – 4 \\
3x – 6 &= x – 2 \\
3x – x &= – 2 + 6 \\
2x &=4 \\
x&= 2
\end{align}

Repare que a Condição de Existência restringe $2$ como resposta e, por isso, a equação não tem solução.

$$S = \{ \}$$