Teoria Função logarítmica

[mm] \log_{b}\left( a \right) = \log_{b}\left( c \right) \Leftrightarrow a=c [/mm]

Temos que a função logarítmica é injetora, então, se o valor de dois logaritmos são iguais, concluímos que os logaritmandos também são iguais.

Obs: Para concluir cada exercício de equação logarítmica, é necessário prestar atenção nas condições de existência:

[mm] \log_{b}\left( a \right) \rightarrow a>0, \ b>0 \ e \ b \neq1. [/mm]

[mm] \log_{3}\left( 7x + 9 \right) = \log_{3}\left( 5x + 27 \right) \\
7x + 9 = 5x + 27\\
7x -5x = 27 -9\\
2x = 18\\
x = \frac{18}{2}\\
x = 9
[/mm]

Antes de colocar o conjunto solução, você sempre precisa se atentar ao domínio das funções logarítmicas, também chamados de condições de existência.

Ou seja,

• [m] 7x + 9 > 0 \rightarrow x > \frac{-9}{7} [/m]
  e
• [m] 5x + 27 > 0 \rightarrow x> \frac{-27}{5} [/m]

O valor de [m] x [/m] respeita as duas restrições, portanto, [m] S = \{ 9 \} [/m]

Neste tipo de equação não podemos começar “cortando” os logs, devemos trabalhar com esse $2$ multiplicando. Vamos transformar ele em um expoente para poder continuar:

[mm] 2 \cdot \log x= \log 9 \\
\log x ^2 = \log 9 \\
x^2 = 9 \\
x = \pm \sqrt{9} \\
x_1 = 3 \\
x_2 = -3
[/mm]

Pela condição de existência, temos que:

• [m] x >0 [/m]

Portanto, [m] S= \{ 3 \} [/m]

A ideia deste tipo de equação é juntar os logaritmos (neste caso, do lado direito) para poder “cortar” os logaritmos dos dois lados:

[mm] \log_{2}\left( x+4 \right) = \log_{2}6 + \log_{2}\left( x -11\right) \\
\log_{2}\left( x+4 \right) = \log_{2} \left( 6 \cdot (x -11) \right) \\
\log_{2}\left( x+4 \right) = \log_{2} \left( 6x -66 \right)\\
x + 4 = 6x -66 \\
x -6x = -66 -4 \\
-5x = -70 \\
x = \frac{-70}{-5} \\
x= 14 [/mm]

Na condição de existência, temos que:

• [m] x + 4 > 0 \rightarrow x > -4 [/m]

• [m] x -11 > 0 \rightarrow x > 11 [/m]

Então, [m] S = \{ 14 \} [/m]