Teoria Juros compostos

Observe abaixo alguns exemplos como utilizar as fórmulas envolvendo juros compostos e em que situações ele deve ser aplicado.

Se você depositar $\text{R}\$ 2000,00$ na poupança, rendendo $0,5\%$ ao mês, que valor terá após $1$ ano?
$C = 2000 \\ i = 0,5\% a.m.= 0,005 \\ t = 1 \text{ ano} = 12 \text{ meses}$
\begin{align}
M &= C \cdot (1+ i)^t \\
&= 2000 (1 + 0,005)^{12} \\
&= 2000 (1,005)^{12} \\
&= 2000 (1,061677812) \\
&\approx 2123,35
\end{align}

Você emprestou $\text{R}\$500,00$ para sua tia-avó e ela prometeu devolver este valor após $2$ meses, além de mais $\text{R}\$100,00$ de juros. Assumindo uma capitalização a juros compostos, qual é a taxa deste empréstimo?

$C = 500 \\ i = ? \\ t = 2 \text{ meses} \\ J = 100$
\begin{align} M &= J + C \\ M &= 500 + 100 \\ M &= 600 \\
\\
M &= C \cdot (1+ i)^t \\
600 &= 500 ( 1 + i)^2 \\
\frac{600}{500} &= (1+i)^2 \\
1,2 &= (1+i)^2 \\
\sqrt{1,2} &= 1 + i \\
1,095 &\approx 1 + i \\
i &\approx 0,095 = 9,5\%
\end{align}

Em um regime de juros compostos com uma taxa de $2,5\%$ ao mês, quanto tempo será necessário para que os juros tenham o mesmo valor do capital aplicado?

$i = 2,5 \% \text{ ao mês} = 0,025 \\
J = C \\
t = ?$

\begin{align}
M &= J + C \\
M &= 2C \\
\end{align}

Para resolver este exemplo será necessário o uso do logaritmo, para que se possa trabalhar com o expoente $t$.

\begin{align}
M &= C \cdot (i+1)^t \\
2C &= C \cdot (0,025+1)^t \\
2C \hspace{-0.35cm} / &= C \hspace{-0.35cm} / \cdot 1,025^t \\
2 &= 1,025^t\\
\log{2} &= \log{1,025}^t \\
\log{ 2} &= t \cdot \log{ 1,025} \\
0,301 &\approx t \cdot 0,011\\
t &\approx \frac{0,301}{0,011} = 27,\overline{36}\\
\end{align}

Em $28$ meses os juros irão ultrapassar o valor do capital aplicado. Veja o mesmo exemplo resolvido para um regime de juros simples. Perceba que esse tempo decai em $12$ meses ($1$ ano) em relação à aplicação em juros simples.

Renata recebeu informações sobre um investimento em ações que lhe renderia $2\%$ ao mês durante os próximos $6$ meses. Quanto ela deve investir para conseguir um rendimento de $\text{R}\$5000,00$?

$C = ? \\ i = 2\% = 0,02 \\ t = 6 \text{ meses} \\ J = 5000$

\begin{align}
M &= C + J \\
M &= C + 5000 \\
\\
M &= C (1 + i)^t\\
C + 5000 &= C (1 + 0,02)^6 \\
5000 &= – C + C ( 1,126162419) \\
5000 &= 0,126162419 C \\
C &= \frac{5000}{ 0,126162419} \\
C &\approx 39.631,15
\end{align}