Teoria Mediana

Em certos casos não é conveniente nem necessário que se construa um conjunto ordenado para extrair a mediana. Basta saber qual é a posição do valor central e que valor é este.

Exemplo

Um vendedor de picolés vende picolés de frutas por R$ $0,50$, picolés de chocolate por R$$1,00$ e picolés recheados por R$$1,50$. Em determinado dia ele vendeu $36$ picolés de morango, $26$ de limão, $28$ de uva, $42$ de chocolate e $30$ recheados. Qual é a mediana dos valores de venda dos picolés?

Picolés de fruta $= 36 + 26 + 28 = 90$
Picolés de chocolate $= 42$
Picolés recheados $= 30$

Total $= 162$ picolés.

Como a quantidade de elementos de $V$ é par, a mediana será a média aritmética entre os elementos de índice $81$ e $82$.

Perceba que o conjunto de todos os valores das vendas seria:
$$V = \{ \underbrace{0,50; …; 0,50;}_{90\text{ elementos}} \, \underbrace{1,00; \, … ; 1,00; \,}_{42 \text{ elementos}} \, \underbrace{1,50; …; 1,50;}_{30\text{ elementos}}\}$$

Tanto o termo de índice $81$ como o de índice $82$ valem $0,50$.

\begin{array}{c c l}
&M_d &= & \frac{0,50+ 0,50}{2} \\
& &= & \frac{1,00}{2}\\
& &= & 0,50
\end{array}

Isso significa que metade dos picolés foi vendido por R$$0,50$ ou menos e que metade dos picolés foi vendido por R$$0,50$ ou mais.

Observação

Vale ressaltar que a mediana, neste caso, não seria o simplesmente termo central do conjunto de preços,
$$P = \{ 0,50; \, 1,00; \, 1,50\} \\ M_d = 1,00$$

pois é falso dizer que metade dos picolés foi vendido por R$$1,00$ ou mais.