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Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de$ RS \ 300,00$.
Se cada uma for vendida por $x$ reais, este fabricante venderá por mês $( 600 – x)$ unidades, em que $0 \leq x \leq 600$.
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo.

a) 150
b) 250
c) 350
d) 450
e) 550

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Este é um exercício frequente em economia e matemática financeira. Exige conhecimentos de função do segundo grau.

Primeiro, vamos organizar os dados:

Preço da Unidade: $x$
Custo por Unidade: $300$
Lucro por Unidade: $x – 300$
Quantidade Vendida: $600 – x$

Lucro total ($L$) = Lucro por unidade $ \times $ Quantidade Vendida.

Depois e organizar e escrever a fórmula do lucro, vamos colocá-lo em função do preço unitário $x$.

$$L(x) = ( x \ – 300) \cdot (600 \ – x) $$

Dá para ver que $L$ é uma função do 2º grau. Vamos desenvolvê-la e calcular o seu ponto de máximo.

\begin{align}
L(x) &= ( x \ – 300) \cdot (600 \ – x) \\
&= 600x – x^2 – 180000 + 300x \\
&= -x^2 +900x – 180000\\
\end{align}

O valor $ x^* $ que máximiza um função do 2º grau é:
$$x^* = \frac{-b }{2a} = \frac{-900}{-2} = 450 $$

onde $a$ e $b$ são os valores que multiplicam $x^2$ e $x$ (igual no Bhaskara), respectivamente.

Então, o preço que maximiza o lucro é $x^* = 450$. O exercício nos perguntou a quantidade de unidades vendidas que maximiza o lucro. Isto vai ocorrer no preço $x^*$. Então, voltando a fórmula da quantidade vendida, que havíamos escrito anteriormente:

Quantidade Vendida = $ 600 \ – x^* = 150.$

Alternativa A.

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