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Considere a função bijetora $f:[1+\infty) \rightarrow (-\infty , 3]$ definida por $f(x)=-x^2+2x+2$ e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa.
O valor numérico da expressão $a+b$ é.

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

","body":"Considere a função bijetora $f:[1+\infty) \rightarrow (-\infty , 3]$ definida por $f(x)=-x^2+2x+2$ e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão $a+b$ é. *a)* 2 *b)* 4 *c)* 6 *d)* 8 *e)* 10","answer_html":"

Para resolver esse exercício, nós vamos usar a seguinte informação, digna de olimpíada de Matemática:

Devido a simetria do gráfico de uma função $f$ e de sua inversa $f^{-1}$ com relação à reta $y=x$, a única maneira dos gráficos se interceptarem é sobre a reta $y=x$.

'Questao

Isso significa, na prática, que procurar pontos de interseção da $f$ com sua inversa é a mesma coisa que resolver:

$$ f(x) = x .$$

É isso que vamos fazer.

\begin{align}
f(x) &= x \\
-x^2 +2x + 2&= x \\
-x^2 +x + 2 &= 0
\end{align}

Por soma e produto (ou Bhaskara, se preferir), vemos que a raízes desta equação são $x=-1$ e $x=2$. Como $x=-1$ não está no domínio da $f$, o eliminamos.

Sendo assim, o ponto de interseção da $f$ com sua inversa é $$\left ( x,f(x) \right) = (a,b) = (2,2) .$$

Desta maneira, $$ a + b = 2 + 2 = 4.$$

Alternativa B.

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