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Uma reta t passa pelo ponto $A(-3,0)$ e é tangente à parábola de equação $x=3y^2$ no ponto $P$.
Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações.

a) $t:x-10y+3=0$ e $P(27,3)$.
b) $t:2x-15y+6=0$ e $P(12,2)$
c) $t:2x+15y+6=0$ e $P(12,-2)$
d) $t:y=0$ e $P(0,0)$
e) $t:x+6y+3=0$ e $P(3,-1)$

","body":"Uma reta t passa pelo ponto $A(-3,0)$ e é tangente à parábola de equação $x=3y^2$ no ponto $P$. Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações. *a)* $t:x-10y+3=0$ e $P(27,3)$. *b)* $t:2x-15y+6=0$ e $P(12,2)$ *c)* $t:2x+15y+6=0$ e $P(12,-2)$ *d)* $t:y=0$ e $P(0,0)$ *e)* $t:x+6y+3=0$ e $P(3,-1)$","answer_html":"

Vamos supor que a reta $t$ tenha equação:

$$ t: \quad y=mx+n. $$

Sabemos que $A = (-3,0) \in t$, então:

$$-3m + n = 0 \Rightarrow n=3m.$$

E com isso, a equação da reta $y$ fica:

$$ t: \quad y=mx+3m. $$

O exercício nos disse que $t$ é tangente a parábola dada por $x=3y^2$. Veja um esboço dessa situação para melhor compreensão.

'Questao

As retas tracejadas são duas possibilidades para a reta $t$ e o ponto de tangência $P$.

Para que $t$ seja tangente à parábola $x=3y^2$, é necessário que as suas equações se interceptem num único ponto. Em outras palavras, é necessário que o sistema abaixo tenha solução única:

\begin{cases}
y &= mx + 3m \\
x &= 3y^2
\end{cases}

Substituindo $x=3y^2$ na equação de cima, obtemos a equação de segundo grau (*) :

\begin{align} y = 3my^2 + 3m \Leftrightarrow \\ \\
\text{(*)} \quad 3my^2 -y + 3m = 0
\end{align}

Para que (*) tenha apenas uma solução e assim $t$ seja tangente a párabola, temos que forçar $\Delta = 0$.

\begin{align}
\Delta &= b^2 – 4ac &= 0 \\
&= (-1)^2 – 4\cdot 3m \cdot 3m &= 0 \\
&= 1 – 36m^2 &= 0
\end{align}

\begin{align}
& \Leftrightarrow \\
36m^2 &= 1 \quad \\
m &= \pm \frac{1}{6}
\end{align}

E com isso, ao substituir $m= \pm \frac{1}{6}$ na equação de $t$, obtemos duas possibilidades:

$$ \text{(i)} \quad t: \quad \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} $$

$$ \text{(ii)} \quad t: \quad \frac{- 1}{6}x- \frac{1}{2}. $$

Vamos multiplicar ambas equações por $6$ para colocá-las na forma geral:

$$ \text{(i)} \quad t: \quad – x + 6y- 3 = 0 $$

$$ \text{(ii)} \quad t: \quad x + 6y+ 3 = 0 $$

Agora, note que a equação (ii) aparece na alternativa E.

Antes de marcar esta alternativa como a correta, temos que descobrir qual é o ponto de tangência $P$. Como $P$ está ao mesmo tempo na reta $t$ e na parábola $x=3y^2$, nós o encontramos resolvendo o sistema abaixo:

\begin{cases}
x + 6y+ 3 &= 0 \\
x &= 3y^2
\end{cases}

E daí segue:

\begin{align}
3y^2 + 6y + 3 = 0 & \Leftrightarrow \\
y^2 + 2y + 1 = 0 & \Leftrightarrow \\
(y+1)^2 = 0 & \Leftrightarrow \\
y=-1
\end{align}

$$ y=-1 \ \ \Rightarrow \ \ x=3y^2 = 3 \cdot (-1)^2 = 3. $$

Então $P=(3,-1)$.

Alternativa E.

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