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A figura abaixo exibe um quadrilátero $A B C D $, onde $AB = AD$ e $BC = CD = 2 \ \text {cm}$. A área do quadrilátero $A B C D $ é igual a:

'Unicamp

a) $ \sqrt{2} \ \text {cm}^2.$
b) $2 \ \text {cm}^2.$
c) $2 \sqrt{2}\ \text {cm}^2.$
d) $3 \ \text {cm}^2. $

","body":"A figura abaixo exibe um quadrilátero $A B C D $, onde $AB = AD$ e $BC = CD = 2 \ \text {cm}$. A área do quadrilátero $A B C D $ é igual a: 'Unicamp

*a)* $ \sqrt{2} \ \text {cm}^2.$ *b)* $2 \ \text {cm}^2.$ *c)* $2 \sqrt{2}\ \text {cm}^2.$ *d)* $3 \ \text {cm}^2. $","answer_html":"

Dado o quadrilátero $A B C D $, sua área $A_{T}$ pode ser calculada através da soma das áreas $ A_{1}$ do $\bigtriangleup C B D $ e área $ A_{2} $ do $ \bigtriangleup A B D $, conforme figura abaixo:

'Unicamp

A área $A_{1} $ pode ser calculada usando a fórmula da Área Trigonométrica:

\begin{align}
A_{1} &= \frac{ab \ sen \alpha }{2} \\
A_{1} &= \frac{2 \cdot 2 \cdot \ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2} \\
\color{blue}{A_{1}} &\color{blue}{= \sqrt{2}}
\end{align}

Ainda no $\bigtriangleup C B D $, vamos aplicar a lei dos cossenos e obter o valor de $x = BD$:

\begin{align}
x^2 &= a^2 + b^2 – 2ab\ cos \alpha \\
x^2 &= 2^2 + 2^2 – 2 \cdot 2 \cdot 2\ \cdot cos \ 45 ^\circ \\
x^2 &= 4 + 4 \ – 8 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x^2 &= 8 \ – 4 \cdot \sqrt{2} \\
\end{align}

O $\bigtriangleup A B D $ retângulo possui hipotenusa $x$, catetos $y$ e, usando o Teorema de Pitágoras, vamos calcular o valor de $AB = AD = y$:

\begin{align}
2y^2 &= x^2 \\
2y^2 &= 8 \ – 4 \cdot \sqrt{2} \ \\
\end{align}

Simplificando a equação acima,
\begin{align}
y^2 &= 4 \ – 2 \cdot \sqrt{2} \\
\end{align}

Pronto, bem melhor.

Agora, vamos calcular a área $A_{2}$, usando a fórmula:

\begin{align}
A_{2} &= \frac{b \cdot h}{2} \\
A_{2} &= \frac{y^2}{2}
\end{align}

E substituindo o valor de $y^2$ em $A_{2}$:

\begin{align}
A_{2} &= \frac{4 \ – 2 \cdot \sqrt{2}}{2} \\
\color{red}{ A_{2}} &\color{red}{= 2 \ – \sqrt{2}} \\
\end{align}

Logo,
\begin{align}
A_{T} &= \color{blue}{A_{1}} + \color{red}{A_{2}} \\
A_{T} &= \color{blue}{\sqrt{2}} + \color{red}{2 – \sqrt{2}} \\
A_{T} &= 2 \ \text {cm}^2
\end{align}

Alternativa B.

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