Teoria Equação Fracionária

$1-$ Resolver a equação:

$a)$ $\large \frac{3}{2x} + \large \frac{4}{x – 1}=\large \frac{15}{2x}$

Primeiro, vamos determinar a Condição de Existência desta equação. Vamos lá !

Considerando que o denominador de uma fração não pode ser igual a zero:

\begin{align}
2x &\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0
\end{align}

E ainda,

\begin{align}
x – 1 &\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1
\end{align}

Logo, essa equação é válida para todos os valores reais com exceção de $0$ e $1$ :

\begin{align}
D = \{x \in \mathbb{R} / x \neq 0 \ \text{e} \ \ x \neq 1 \}
\end{align}

Agora, vamos determinar o conjunto solução $S$ da equação.

E, por isso, vamos determinar o $ \text{ MMC} $ entre os termos $2x$ e $x – 1$.

Repare que para calcular o $ \text{MMC}$ fazemos a divisão separada por cada termo : numérico 2 , $x$ e $(x – 1)$.

\begin{array}{ c | c }
2x, x – 1 & 2 \\
x, x – 1 & x \\
1, x – 1 & x – 1\\
1,1 & \\
\end{array}
$$\text{MMC} \ (2x;x – 1) = 2 \cdot x \cdot (x – 1) = 2x(x – 1)$$

E reescrevendo a equação usando o denominador em comum:

$\large \frac{3\cdot(x – 1)}{2x(x – 1)} + \large \frac{4\cdot 2x}{2x(x – 1)}=\large \frac{15\cdot (x – 1)}{2x(x – 1)}$

Nesta etapa, vamos eliminar o denominador em comum:

\begin{align}
3\cdot(x – 1) + 8x &= 15\cdot(x – 1) \\
3x – 3 + 8x &= 15x – 15 \\
3x + 8x – 15x &= – 15 + 3 \\
– 4x &= – 12 \\
x&=3
\end{align}

E como este resultado está dentro da Condição de Existência:

\begin{align}
S &= \{ 3 \}
\end{align}

$b)$ $\large \frac{3}{x + 2}=\large \frac{1}{x – 2} – \large \frac{4}{x^2 – 4}$

Primeiro, vamos escrever a Condição de Existência da equação lembrando que o denominador de uma fração não pode ser igual a zero:

\begin{align}
x + 2 &\neq 0 \Leftrightarrow x \neq – 2 \\
x – 2 &\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2 \\
x^2 – 4 & \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2
\end{align}

Logo, essa equação é válida para todos os valores reais com exceção de $ \pm 2$ :

\begin{align}
D = \{x \in \mathbb{R} / x \neq \pm 2 \}
\end{align}

Agora, vamos determinar o conjunto solução $S$ da equação.

E calculando o $ \text{ MMC} $ entre $(x + 2), (x – 2)$ e $(x^2 – 4)$ :

\begin{array}{ c | c }
x + 2, x – 2, x^2 – 4 & \\
x + 2, x – 2,( x + 2)(x – 2) & x + 2 \\
1,x – 2, x – 2 & x – 2 \\
1, 1, 1\\
\end{array}
$$\text{MMC} \ (x + 2,x – 2,x^2 – 4) = (x + 2)(x – 2)$$

E reescrevendo a equação usando o denominador em comum:

$\large \frac{3\cdot(x – 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \large \frac{(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} – \large \frac{4}{(x + 2)(x – 2)}$

E eliminando o denominador em comum:

\begin{align}
3(x – 2) &= x + 2 – 4 \\
3x – 6 &=x – 2 \\
3x – x&= – 2 + 6 \\
2x &=4 \\
x&=2
\end{align}

Repare que este resultado descumpre a Condição de Existência .

Logo, a equação não tem solução, ou seja,

$$S = \varnothing $$

$c)$ $\large \frac{3x – 2}{4x + 4}= \large \frac{1}{2}$

Vamos determinar a Condição de Existência fatorando o denominador:

\begin{align}
4x + 4 &\neq 0 \\
4\cdot(x + 1) &\neq 0
\end{align}

A desigualdade acima se verifica, se e somente se:

\begin{align}
x + 1 &\neq 0 \\
x &\neq – 1
\end{align}

Agora, vamos calcular o $\text{MMC}$ entre $2$ e $4(x + 1)$. Vamos lá !

\begin{array}{ c | c }
2, 4(x + 1) & 2 \\
1,2(x + 1) & 2 \\
1,x + 1 & x + 1 \\
1,1
\end{array}
$$\text{MMC} \ (2,4(x + 1)) = 2 \cdot 2 \cdot (x + 1)=4(x + 1)$$

Reescrevendo a equação com o denominador em comum:

\begin{align}
\large \frac{3x – 2}{4(x + 1)} &=\large \frac{ 1\cdot2(x + 1)}{4(x + 1)}
\end{align}

Logo,

\begin{align}
3x – 2 &= 2x + 2 \\
x&=4
\end{align}

$$ S= \{4 \}$$