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Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que $30$?

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Iremos resolver este exercício utilizando Análise Combinatória. Queremos formar um número composto com $4$ números primos distintos entre si e menores que $30$. Primeiro vamos listar quais são estes números:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$$

Agora iremos fazer uma combinação destes números, $4$ a $4$. É uma combinação, pois não importa a ordem de escolha, eles formam o mesmo número. Por exemplo, dá no mesmo escolher $2, 3, 5, $7$ ou $5, 3, 2, 7$, a ordem dos fatores não altera o resultado:

$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 350 \\
5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 350$$

Portanto:

$$C_{10, 4} = \dfrac{10 ! }{4 ! 6 !} = \dfrac{10 \cdot \ ^3 9 \hspace{-0.6em}/ \cdot 8 \hspace{-0.6em}/\cdot 7 \cdot 6 ! \hspace{-0.8em}/}{4 \hspace{-0.6em}/\cdot 3 \hspace{-0.6em}/ \cdot 2 \hspace{-0.6em}/ \cdot 1 \cdot 6! \hspace{-0.8em}/} = 210$$

Nestas condições podem ser formados $210$ números.

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