Teoria Ângulos em polígonos

Já sabemos que a soma dos ângulos internos aumenta conforme o número de lados de um polígono aumenta. Mas e a soma dos ângulos externos? Existe um padrão para ela também?

Vamos considerar estes três polígonos regulares e seus ângulos internos.

O ângulo externo é o suplementar ao interno; iremos destacá-los nas figuras.

A soma de todos os ângulos externos é chamada de $S_e$; podemos calcular esta soma nas figuras.

Para as três figuras, a $S_e$ deu $360^{\circ}$. Pode acreditar que para qualquer polígono convexo é verdade que:

$$S_e = 360^{\circ}$$

Está desconfiado? Se desejar, veja a seguir a prova desta proposição.

Um polígono de $n$ lados $(n \geq 3)$ possui $n$ ângulos internos e $n$ ângulos internos. Para cada par de ângulos interno e externo podemos escrever que:

$$a_{i1} + a_{e1} = 180 \\ a_{i2} + a_{e2} = 180 \\ \vdots \\ a_{in} + a_{en} = 180 $$

Somando todas estas equações, temos:

$$a_{i1} + a_{i2} + \dots + a_{in} + a_{e1} + a_{e2} + \dots + a_{en} =180 \cdot n$$

Mas $a_{i1} + a_{i2} + \dots + a_{in}$ é a soma de todos os ângulos internos, $S_i$, para a qual já conhecemos a fórmula $ S_i= (n- 2) \cdot 180$; e $a_{e1} + a_{e2} + \dots + a_{en}$ é a soma de todos os ângulos externos, que chamamos de $S_e$. Então:

$$\underbrace{a_{i1} + a_{i2} + \dots + a_{in} }+ \underbrace{a_{e1} + a_{e2} + \dots + a_{en}} =180 \cdot n \\ (n-2) \cdot 180 \hspace{4.5em} + S_e = 180n \\
180n- 360 + S_e = 180 n\\
S_e = 180n- 180n + 360 \\
S_e = 360^{\circ}$$

Ou seja, está demonstrado que a soma dos ângulos internos de um polígono (nem precisa ser regular) sempre é $360^{\circ}$, independente do número de lados.