Teoria Ângulos em polígonos

Um ponto importante do estudo dos ângulos nos polígonos é a soma dos ângulos internos. Esperamos que você já saiba que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$$

A partir daí, iremos explorar os demais polígonos.

Considere os seguintes polígonos com $n$ lados:

Fixando um vértice em cada um deles, podemos dividi-los em triângulos.

Como em cada triângulo a soma dos ângulos internos deve ser $180^{\circ}$, basta multiplicar a quantidade de triângulos por $180^{\circ}$.

E qual é o padrão neste raciocínio?

Perceba que o número de triângulos é sempre $2$ unidades menor que o número de lados. Ou seja, se o polígono tem $n$ lados, é possível formar $(n-2)$ triângulos.

Portanto, a fórmula para calcular a soma dos ângulos internos $(S_i)$ de um polígono de $n$ lados é:

$$S_i = (n- 2) \cdot 180$$

Esta fórmula funciona até para figuras irregulares, isto é, os lados podem ter medidas diferentes.

Neste exemplo iremos determinar a soma dos ângulos internos de um heptágono (polígono de $7$ lados).

\begin{align}
S_i &= (n- 2) \cdot 180 \\
& = (7- 2) \cdot 180 \\
&= 5 \cdot 180 \\
&= 900^{\circ}
\end{align}

Iremos calcular a medida do ângulo $\hat{C}$ do polígono abaixo.

Primeiro iremos determinar quanto é a soma dos ângulos internos do pentágono; ele possui $n = 5$ lados então:

\begin{align}
S_i &= (n-2 ) \cdot 180 \\
&= (5-2) \cdot 180 \\
&= 3 \cdot 180 \\
&= 540^{\circ}
\end{align}

Ou seja, se somarmos todos os ângulos internos do pentágono o resultado deve ser $540^{\circ}$. Então dá para montar e resolver esta equação:

$$
90 + 2x- 30 + 90 + x + x+10 = 540 \\
160 + 4x = 540 \\
4x = 540- 160 \\
4x = 380 \\
x = \dfrac{380}{4} \\
x = 95^{\circ}
$$

Agora podemos substituir $x$ na expressão do ângulo $\hat{C}$:

\begin{align}
\hat{C} &= 2x- 30 \\
&= 2 \cdot 95- 30 \\
&= 190- 30 \\
&= 160^{\circ}
\end{align}