Teoria Função modular

Agora, considere um exemplo de composição da função módulo com a função do 2º grau:

$$f(x) = |x^2- 4x + 3|$$

O primeiro passo é fazer um estudo de sinal da função dentro do módulo. No caso da função de 2º grau, é necessário conhecer suas raízes.

$$\begin{align}
&x^2- 4x + 3 = 0 \\
& \Delta = (-4)^2- 4 \cdot 1 \cdot 3 \\
& \Delta = 16- 12 \\
& \Delta = 4 \\
\\
x &= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{4 \pm 2}{2}
\end{align}
$$
$$
\begin{array}{r c l}
x_1 &= &\dfrac {4 + 2 }{2 } = \dfrac {6 }{2 } =3\\
x_2 &= &\dfrac {4- 2 }{2 } = \dfrac {2 }{2 } =1
\end{array}$$

Como $a = 1 > 0$, a concavidade da função é para cima; podemos fazer o seguinte esquema para o estudo do sinal:

Portanto, quando $x \leq 1$ ou $x \geq 3$, a função é positiva ou nula e não trocamos o sinal no módulo:

$$|x^2- 4 x+3| = x^2- 4x + 3$$

Mas quando $1 < x < 3$, a função assume valores negativos. Nesta região, para determinar o módulo, trocamos o sinal da função:

$$|x^2- 4 x+3| =- (x^2- 4 x+3)= – x^2 +4x- 3$$

Portanto, a função pode ser escrita da seguinte maneira:

$$f(x) = \left \{ \begin{align}
&x^2- 4 x+3, \text{se } x \leq 1 \text{ ou } x \geq 3 \\
&- x^2 +4x- 3, \text{se } 1 < x < 3
\end{align}\right.$$

Seu gráfico pode ser compreendido como união de duas parábolas, excluindo as partes em que elas estão negativas:

Assim, o gráfico da função é o seguinte: