Teoria Módulo

O cálculo do módulo pode complicar em situações em que não é tão fácil determinar o sinal de um número, como por exemplo:

$$|\sqrt 7- 3|$$

Não podemos manter ou trocar o sinal deste número sem saber se é negativo ou positivo. Aí é que entra a estimativa de raízes.

O número $7$ é um número que está entre o $4$ e o $9$. Escolhemos estes números, pois eles possuem raiz quadrada exata.

$$4 < 7 < 9$$

Aplicando a raiz quadrada em todos os números, obtemos a seguinte relação:

\begin{array}{c c c c c}
\sqrt 4 &< & \sqrt 7 & < & \sqrt 9 \\
2 &<& \sqrt 7 &<& 3
\end{array}

Portanto, $\sqrt 7 < 3$, então quando fazemos a subtração de $\sqrt 7$ por $3$ o resultado é negativo. Voltando ao cálculo do módulo, teremos:

$$|\sqrt 7- 3 | =- (\sqrt 7- 3 ) = -\sqrt 7 + 3 $$

Queremos calcular:

$$|\sqrt{11}- 3|$$

Primeiro iremos estimar o valor de $\sqrt{11}$. O número $11$ está entre $9$ e $16$ (eles possuem raiz exata):

\begin{array}{c c c c c}
9 &<& 11 &<& 16 \\
\sqrt{9} &<& \sqrt{11} &<& \sqrt{16}\\
3 &<& \sqrt{11} &<& 4
\end{array}

Portanto, $3 < \sqrt{11}$ e a diferença $\sqrt{11}- 3$ é positiva.

$$|\sqrt{11}- 3| = \sqrt{11}- 3$$

Queremos calcular:

$$|4 – \sqrt{17}|$$

Primeiro iremos estimar $\sqrt{17}$

$$16 < 17 \Rightarrow \sqrt{16} < \sqrt{17} \Rightarrow 4 < \sqrt{17}$$

Se $4$ é menor que $\sqrt{17}$ então a diferença $4- \sqrt{17}$ é negativa. Portanto:

$$|4 – \sqrt{17}| =- (4- \sqrt{17}) =-4 + \sqrt{17}$$