Teoria Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C)

Considere um número natural $x$ representado na forma fatorada, isto é, $ x = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^p \cdot 7^q \dots $, onde $2, 3, 5, 7, …$ são os fatores primos e $m, n, p, q, …$ suas respectivas potências.

A quantidade de divisores positivos de $x$ pode ser calculada através da expressão:

$$(m+1)(n+1)(p+1)(q+1)…$$

De fato, qualquer divisor de $x$ é menor ou igual a ele e é formado pelos mesmos fatores. Sendo assim, um divisor pode ter os seguintes fatores de $2$, por exemplo:

$$2^0, 2^1, 2^2, …, 2^m$$

De $0$ a $m$ há $(m+1)$ elementos.

Depois iremos escolher alguma potência de $3$, de $0$ até $n$ e o raciocínio se repete. O mesmo vale para os outros fatores.

Iremos determinar a quantidade de divisores do $60$ sem necessariamente apresentar quais são estes divisores.

\begin{array}{c | c}
60 & 2 \\
30 & 2 \\
15 & 3 \\
5 & 5\\
1
\end{array}

$$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$

Ou seja, um divisor de $60$ pode conter $2^0, 2^1$ ou $2^2$ como fator: $2+1 = 3$ possibilidades.
Ele também pode conter $3^0$ ou $3^1$: $1+1 = 2$ possibilidades.
Da mesma forma que pode conter $5^0$ ou $5^1$: $1+1 = 2$ possibilidades.

Desta forma, temos:

$$3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$$

Portanto há $12$ divisores de $60$.