Teoria Combinação

Uma empresa de buffet tem à disposição $4$ garçons, $3$ atendentes de bar e $3$ cozinheiros. Esta empresa precisa formar uma equipe de $4$ pessoas com pelo menos $1$ cozinheiro. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Em casos de formação de comissões, grupos, conjuntos etc, não importa a ordem em que os elementos são escolhidos, portanto é uma situação de combinação.

Para responder a pergunta, primeiro iremos calcular quantos grupos podem ser formados com o total de $10$ pessoas, sem distinção de cargo.

$$C_{10,4} = \frac{10 ! }{4 ! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! \hspace{-0.35cm} /}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6! \hspace{-0.35cm} /} = \frac{5040}{24} = 210$$

Agora, iremos calcular quantos destes grupos não possui nenhum cozinheiro; desta maneira só temos $7$ pessoas à disposição, para as mesmas $4$ vagas:
$$C_{7,4} = \frac{7! }{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! \hspace{-0.3cm} /}{4! \hspace{-0.3cm} / \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$$

Ao retirarmos estes $35$ grupos de todos os $210$ possíveis, encontramos a resposta do problema:
$$210-35 = 175$$