Teoria Combinação

Uma urna contém $10$ bolas brancas e $6$ pretas. De quantos modos é possível tirar $7$ bolas dos quais pelo menos $4$ bolas sejam pretas?

Neste exercício precisamos formar subconjuntos contendo $7$ bolas com, pelo menos, $4$ bolas pretas.

Repare que a ordem da escolha não altera o resultado definindo Combinação, onde são formados subconjuntos de $n$ elementos tomados $p$ a $p$.

Usando a fórmula da Combinação:

\begin{align}
C_{n,p} &= \frac{n ! }{p!(n – p)!}
\end{align}

Vamos analisar as possíveis retiradas:

\begin{align}
4 \ pretas \ e\ 3\ brancas &= C_{6,4} \cdot C_{10,3} &= 1800 \\
5 \ pretas \ e\ 2\ brancas &= C_{6,5} \cdot C_{10,2} &= 270 \\
6 \ pretas \ e\ 1\ branca &= C_{6,6} \cdot C_{10,1} &= 10
\end{align}

Logo, existem $2080$ modos de fazer esta retirada.

Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um jogo. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez, havendo no total $43$ cumprimentos. Qual o número de colorados?

Repare que os cumprimentos são agrupamentos de mãos onde a ordem não interessa e, por isso, usaremos a fórmula de Combinação.

\begin{align}
C_{n,p} &= \frac{n ! }{p!(n – p)!}
\end{align}

Como os seis gremistas cumprimentam-se entre si de $C_{6,2} $ modos e os colorados cumprimentam-se entre si de $C_{n,2}$ modos,

\begin{align}
C_{6,2} + C_{n,2}&= 43 \\ \\
\frac{6 ! }{2 ! 4 ! } + \frac{n ! }{2 ! n – 2 ! } &=43 \\ \\
15 + \frac{n (n – 1)}{2} &=43 \\ \\
n^{2} – n – 56=0 \\ \\
\end{align}

Resolvendo esta equação do $2^{o}$ grau, determinamos $n=8$ ou $n= – 7$ e como a definição de Combinação é feita considerando $p$,$n$ , $ \subset $ $\mathbb{N} $ e $p \leq n$, o número de colorados é $8$.