Teoria Conjunto dos números irracionais

Vamos provar porque $\sqrt 2$ é um número irracional utilizando a redução ao absurdo, isto é, vamos assumir que $\sqrt 2$ é racional e ver que isso nos leva a conclusões erradas.

Então, suponha que

$$\sqrt 2 = \dfrac{a}{b},$$

sendo que $\dfrac{a}{b}$ é uma fração irredutível (não pode mais ser simplificada).

Vamos elevar os dois lados ao quadrado e passar o $b$ multiplicando o membro esquerdo:

\begin{align}
\sqrt 2^2 &= \left ( \dfrac{a}{b} \right)^2 \\ 2 &= \dfrac{a^2}{b^2} \\ 2b^2 &= a^2 \qquad (I)
\end{align}

Significa que $a^2$ é um número par (pois ele vale o dobro de $b^2$, e todo dobro é par).

Se $a^2$ é par, então $a$ também é par. Então podemos escrever que

$$a = 2k,$$

para algum $k \in \mathbb{Z}$.

Fazendo esta substituição na equação $I$ temos:

$$2b^2 = (2k)^2 \\ 2b^2 = 4k^2 \\ b^2 = \dfrac{4k^2}{2} \\ b^2 = 2k^2$$

Ou seja, $b^2$ é par e portanto $b$ também é par. Podemos escrever:

$$b = 2m,$$

para algum $m \in \mathbb{Z}$. Mas aí isso entra em contradição com o que afirmamos no início, de que $\dfrac{a}{b}$ era uma fração irredutível:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{2k}{2m} = \dfrac{k}{m}$$

Ou seja, é absurdo assumir que $\mathbf{\sqrt 2}$ possa ser escrita na forma de fração.

A prova para as demais raízes de números primos ($\sqrt 3, \sqrt 5$ etc) é a mesma, mas em vez de conclusão ser que $a$ e $b$ são pares, ela irá chegar em $a$ e $b$ sendo múltiplos de $3$, múltiplos de $5$ etc.