Teoria Equação irracional

Observe a equação abaixo, onde aparece uma soma de radicais:

$$\sqrt{x + 7}- \sqrt x = 1$$

Para facilitar sua resolução, iremos isolar a raiz “mais complicada”:

$$\sqrt{x + 7} = 1 + \sqrt x$$

E agora iremos elevar os dois lados da equação ao quadrado; repare que no membro direito é necessário resolver um produto notável.

\begin{align}
(\sqrt{x + 7})^2 &= (1 + \sqrt x)^2 \\
x + 7 &= 1 + 2 \cdot \sqrt x \cdot 1 + \sqrt x^2 \\
x + 7 &= 1 + 2 \sqrt x + x
\end{align}

Agora isolamos novamente o radical e elevamos os dois membros ao quadrado:

\begin{align}
x + 7 &= 1 + 2 \sqrt x + x \\
x+ 7- 1- x &= 2 \sqrt x \\
6 &= 2 \sqrt x \\
\sqrt x &= \dfrac{6}{2} \\
\sqrt x &= 3 \\
(\sqrt x)^2 &= 3^2 \\
x &= 9
\end{align}

Fazendo o teste na equação original:

\begin{align}
\sqrt{9+7}- \sqrt 9 &= 1 \\
\sqrt{16}- 3 &= 1\\
4- 3 &= 1 \color{green}{\checkmark}
\end{align}

Iremos isolar $\sqrt{x+5}$ no membro esquerdo e elevar os dois lados ao quadrado. No membro da direita é necessário fazer um produto notável.

\begin{align}
\sqrt{x+5}- \sqrt{x- 2} &= 1 \\
\sqrt{x+5} &= 1 + \sqrt{x- 2} \\
(\sqrt{x+5})^2 &= (1 + \sqrt{x- 2})^2 \\
x + 5 &= 1 + 2 \sqrt{x- 2} + \sqrt{x- 2}^2 \\
x + 5 &= 1 + 2 \sqrt{x- 2} + x- 2 \\
x + 5- x- 1+2 &= 2 \sqrt{x- 2} \\
6 &= 2\sqrt{x- 2} \\
\sqrt{x- 2} &= \dfrac{6}{2} \\
(\sqrt{x- 2})^2 &= (3)^2 \\
x- 2 &= 9 \\
x &= 11
\end{align}

E agora verificando

\begin{align}
\sqrt{x+5}- \sqrt{x- 2} &= 1\\
\sqrt{11+5}- \sqrt{11- 2} &= 1 \\
\sqrt{16}- \sqrt{9} &= 1\\
4- 3 &= 1 \color{green}{\checkmark}
\end{align}