Teoria Equação irracional

Em toda equação irracional precisamos elevar os dois lados da equação por um expoente que seja mais conveniente.
Depois de cancelar a raiz, é só resolver a equação até encontrar o(s) valor(es) de [m] x [/m] .
No final, é necessário testar cada valor de [m] x [/m] encontrado para que não haja absurdos (raízes negativas).

Vamos elevar os dois lados da equação por [m] 2
[/m] para conseguir cancelar a raiz quadrada:
\begin{align}
( \sqrt{x-5} ) ^2 &= 2^2 \\
x-5 &= 4 \\
x &= 4 + 5 \\
x &= 9
\end{align}

Teste:
\begin{align} \sqrt{x-5} &= 2 \\
\sqrt{9-5} &= 2 \\
\sqrt{4} &= 2 \\
2&=2 \;\; \color{green}{\checkmark} \end{align}

Logo, a solução da equação é [m] S = \{ 9 \} [/m]

Vamos elevar os dois lados da equação por [m] 3[/m] para conseguir cancelar a raiz cúbica:

\begin{align} ( \sqrt[3]{5x – 7} ) ^3 &= 2^3 \\
5x-7 &= 8 \\
5x &= 8 + 7 \\
5x &= 15 \\
x &= \dfrac{15}{5} \\
x &= 3
\end{align}

Teste:
\begin{align} \sqrt[3]{5x – 7} &= 2 \\
\sqrt[3]{5\cdot 3- 7} &= 2 \\
\sqrt[3]{15-7} &= 2 \\
\sqrt[3]{8} &= 2 \\
2&=2 \;\; \color{green}{\checkmark}
\end{align}

Logo, a solução da equação é [m] S = \{3 \} [/m]

Vamos elevar os dois lados da equação por [m] 2 [/m] para conseguir cancelar a raiz quadrada externa:

\begin{align}
\left ( \sqrt{ 21 + \sqrt{x+4} } \right ) ^2 &= 5^2 \\
21 + \sqrt{x+4} &= 25 \\
\sqrt {x+4} &= 25-21 \\ \sqrt {x+4}&=4
\end{align}

Agora, precisamos elevar ao quadrado novamente para cancelar a outra raiz quadrada:

\begin{align} (\sqrt{x+4} ) ^2 &= 4^2 \\
x+4 &= 16 \\
x &= 16-4 \\
x &=12
\end{align}

Teste:
\begin{align}
\sqrt{ 21 + \sqrt{x+4} } & = 5 \\
\sqrt{ 21 + \sqrt{12+4} }&= 5 \\
\sqrt{ 21 + \sqrt{16} }&= 5 \\
\sqrt{ 21 + 4 }&= 5 \\
\sqrt{ 25 }&= 5 \\
5&=5 \;\; \color{green}{\checkmark}
\end{align}

Logo, a solução da equação é [m] S = \{12 \} [/m]

Vamos elevar os membros da equação ao quadrado sucessivamente, para cancelarmos as raízes quadradas.

\begin{align}
\sqrt{31+\sqrt{21+ \sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}}}} &=6 \\
(\sqrt{31+\sqrt{21+ \sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}}}})^2 &=6^2 \\
31 + \sqrt{21+ \sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}}} &=36 \\
(\sqrt{21+ \sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}}})^2 &= 5^2 \\
21 + \sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}}) &= 25 \\
(\sqrt{14+ \sqrt{1+ \sqrt{x}}})^2 &= 4^2 \\
14 + \sqrt{1+ \sqrt{x}} &=16 \\
(\sqrt{1+ \sqrt{x}})^2 &= 2^2 \\
1 + \sqrt{x} &= 4 \\
( \sqrt{x})^2 &=3^2 \\
x&=9
\end{align}