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3

Equação irracional de segundo grau

Algumas equações irracional levam à equações de segundo grau. Neste caso, é necessário resolver a equação quadrática e testar todas as suas soluções na equação original.

Ainda está com dúvida?Conheça as aulas particulares do Matika.
3.1

$\sqrt{3x} + 3 = x- 3$

O processo é o mesmo: isolar a raiz e elevar os dois lados ao quadrado.

$$
\sqrt{3x} = x- 3- 3\\
\sqrt{3x} =x- 6 \\
\sqrt{3x}^2 = (x- 6)^2 \\
3x = x^2- 12x + 36 \\
x^2- 15x + 36 = 0
$$

\begin{align}
&\Delta = (-15)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 36 \\
&\Delta = 225- 144 \\
&\Delta = 81 \\
&\sqrt{\Delta} = 9 \\
\\
x &= \dfrac{-(-15)\pm 9}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{15 \pm 9}{2} \\
x_1 &= \dfrac{24}{2} = 12 \\
x_2 &= \dfrac{6}{2} = 3
\end{align}

Agora é preciso verificar as respostas:

  • $x=12$

\begin{align}
\sqrt{ 3 \cdot 12} + 3 &= 12- 3\\
\sqrt{36} + 3 &= 9 \\
6+ 3 &= 9 \color{green}{\checkmark}
\end{align}

  • $x = 3$

\begin{align}
\sqrt{3 \cdot 3} + 3 &= 3- 3 \\
\sqrt{9} + 3 &= 0 \\
3 + 3 &= 0 \; \color{red}{\chi}
\end{align}

Portanto:

$$S = \{ 12\}$$

3.2

[m] \sqrt{6-x}=x [/m]

Vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado, para cancelar a raiz quadrada:

\begin{align}
(\sqrt{6-x})^2&=x^2 \\
6 – x &= x^2 \\
x^2 + x – 6&=0 \\
\end{align}

Na equação acima, sejam os coeficientes: $a=1$, $b=1$ e $c= – 6$, vamos encontrar as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$.

Primeiro, vamos calcular o $ \Delta $:

\begin{align}
\Delta &=b^2 – 4ac \\
\Delta &= 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot ( – 6) \\
\Delta &= 1 + 24 \\
\Delta &= 25
\end{align}

Agora, Usando a Fórmula de Bhaskara:

\begin{align}
x &= \frac{ – b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a}
\end{align}

Determinamos as raízes $x_{1}=2$ e $x_{2}= – 3$.

Para obtermos o resultado, precisamos verificar se $x_{1}$ e $x_{2}$ validam a igualdade da equação irracional dada.

\begin{align}
x &= 2 \Rightarrow \sqrt{6-2} = 2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \\ \\
x &= – 3 \Rightarrow \sqrt{6-( – 3)} = – 3 \Rightarrow \sqrt{9}
\ne – 3
\end{align}

Portanto, a raiz que verifica a equação dada é

$$S = \{2\}$$

3.3

[m] \sqrt{x+\sqrt{x-1}}= \sqrt{2x-3} [/m]

Vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado, para cancelar a raiz quadrada:

\begin{align}
(\sqrt{x+\sqrt{x-1}})^2 &= (\sqrt{2x-3}) ^2 \\
x+\sqrt{x-1} &= 2x – 3 \\
\sqrt{x-1} &= 2x – x – 3 \\
\sqrt{x-1} &= x – 3 \\
\end{align}

E elevando novamente os dois membros da equação ao quadrado:

\begin{align}
(\sqrt{x-1})^2 &= (x – 3)^2 \\
x – 1 &= x^2 – 6x + 9 \\
x^2 – 7x + 10 &=0
\end{align}

Na equação acima, sejam os coeficientes: $a=1$, $b= – 7$ e $c= 10$, vamos encontrar as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$.

Primeiro, vamos calcular o $ \Delta $:

\begin{align}
\Delta &=b^2 – 4ac \\
\Delta &=( – 7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 10 \\
\Delta &= 49 – 40 \\
\Delta &= 9
\end{align}

Agora, Usando a Fórmula de Bhaskara:

\begin{align}
x &= \frac{ – b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a}
\end{align}

Encontramos as raízes $x_{1}=5$ e $x_{2}=2$, que devem ser substituídas na equação irracional dada para verificar a igualdade.

Vamos lá !

\begin{align}
x &= 5 \Rightarrow \sqrt{5+ \sqrt{5-1} } = \sqrt{2 \cdot 5 – 3} \Rightarrow \sqrt{5 + 2} = \sqrt{7} \\ \\
x &= 2 \Rightarrow \sqrt{2+ \sqrt{2-1} } = \sqrt{2 \cdot 2 – 3} \Rightarrow \sqrt{2 + 1} \ne \sqrt{1}
\end{align}

Logo, o valor de $x$ que valida a equação dada é $x=5$.

3.4

$\sqrt{2x^2+x-6} = x+2$

Primeiro, para determinar os valores de $x$, vamos elevar os dois lados ao quadrado. Vamos lá !

\begin{align}
(\sqrt{2x^2+x-6})^2 &=(x+2)^2 \\
2x^2 + x – 6 &=x^2 + 4x + 4 \\
x^2 – 3x – 10 &=0 \\
\end{align}

Para resolver esta equação vamos usar a famosa Fórmula de Bháskara :

$$
\Delta =b^2-4 \cdot a \cdot c\\
x = \dfrac {-b \pm \sqrt{ \Delta} }{2 \cdot a}
$$

E determinar $x_1=5$ e $x_2= – 2$.

Agora, fazendo a verificação para $x_1=5$:

$\sqrt{2\cdot5^2 + 5 – 6} = 5 + 2$
$ \sqrt{49}= 7$

E para $x_2= – 2$ :

$\sqrt{2\cdot( – 2)^2 + ( – 2) – 6}= – 2 + 2$
$\sqrt0 = 0$

$$S = \{ – 2,5\}$$

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