Teoria Função logarítmica

O domínio e a imagem do logaritmo estão baseados na imagem e no domínio da função exponencial, pois aquela é inversa desta.

Desta maneira, para que o logaritmo esteja bem definido, é necessário restringir seu domínio para os reais positivos e não-nulos, pois esta é a imagem da função exponencial.

$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \; | \; x > 0\}$$

Sua imagem é o domínio da função exponencial, ou seja, todos os números reais.

$$Im_f = \mathbb{R}$$

Novamente, para garantir que o logaritmo esteja bem definido, a sua base, assim como a base da função exponencial, deve ser positiva e diferente de $1$.

$$a> 0 \text{ e } a \neq 1$$

Como dito, o logaritmando não pode ser um valor nulo nem negativo, portanto teremos a seguinte inequação:

\begin{align}
15- 3x &> 0 \\
- 3x &>- 15 \quad \cdot(-1) \\
3x &< 15 \\
x &< \dfrac{15}{3} \\
x &< 5
\end{align}

Desta forma, o domínio de $f$ é dado pelo conjunto:

$$D_f = \{ x \in \mathbb{R} | x < 5\}$$

Obs.: O domínio não depende da base! Basta que ela respeite a condição de ser positiva e diferente de $1$.

Para a função [mm] f(x) = \log_{x+1}( 5x + 10) [/mm]
temos que fazer todas as condições de existência, ou seja:

• [m] x+ 1 > 0 \rightarrow x > -1[/m]
• [m] x+1 \neq 1 \rightarrow x \neq 0 [/m]
  e
• [m] 5x + 10 > 0 \rightarrow x > \frac{-10}{5} \rightarrow x > -2[/m]

Concluímos que, o domínio é todo valor maior que [m] -1 [/m] e diferente de [m] 0. [/m]

[mm] Dom f = \{ x \in \mathbb{R} / x>-1 \ e \ x \neq 0 \} [/mm]