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3

Gráfico da função quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola e seu posicionamento no plano cartesiano depende diretamente dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Grafico

O coeficiente $c$ é o ponto onde a parábola corta o eixo $y$.

Com relação ao coeficiente $a$, sabe-se que a parábola será
1. côncava para cima sempre que $a>0$, e
2. côncava para baixo sempre que $a<0$.

A coordenada $x$ do vértice $V$ da parábola pode ser calculado da seguinte maneira:

$$x_v = \displaystyle \frac{-b}{2a}$$

Se a função possui raiz também é possível calcular o $x_v$ como a média aritmética das raízes, $x_1$ e $x_2$:
$$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

Se $\Delta = 0$ então $x_1 = x_2$, o que significa que o vértice é a própria raiz da função.

A coordenada $y$ do vértice pode ser calculada através de qualquer uma das igualdades.
$$y_v = f(x_v) \text{ ou } y_v = \displaystyle \frac{- \Delta}{4a }$$

.

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3.1

Exemplo

Iremos determinar a lei da função que descreve a parábola abaixo:

Exemplo

A função quadrática é da forma $f(x) = ax^2 + +bx + c$. A constante $c$ desta função irá valer $2$, pois é o ponto em que a parábola cruza o eixo $y$.

$$c = 2$$

Outra informação dada pelo gráfico tem a ver com o vértice, de coordenadas $(-2;6)$. A coordenada $x$ do vértice é $-2$:

\begin{align}
x_v &= \frac{-b}{2a} \\
-2 &= \frac{-b}{2a} \\
-2 \cdot 2a &= – b \\
-4 a &= -b \\
b &= 4a
\end{align}

E se calcularmos $f(-2)$ o resultado deve ser $6$:
\begin{align}
f(-2) &= a(-2)^2 + b(-2) + 2 \\
6 &= 4a -2b + 2\\
4a – 2b &= 4 \\
\end{align}

Agora substituímos $b$ por $4a$, como encontrado na equação anterior:

\begin{align}
4a – 2 (4a) &= 4 \\
4a -8 a &= 4 \\
-4a &= 4 \\
a &= \dfrac{4}{-4} \\
a &= -1
\end{align}

Pelo fato de a parábola ter a concavidade para baixo, já era esperado que $a$ fosse negativo. Usamos este valor para descobrir $b$:
\begin{align}
b &= 4a \\
b &= 4 (-1) \\
b &= -4
\end{align}

Portanto a lei da função procurada é:
$$f(x) = -x^2 – 4x + 2$$

3.2

Exemplo

Um projétil é atirado e descreve uma trajetória em forma de parábola representada pela equação $y= – 3x^2 + 60x $ ($x$ e $y$ medidos em metros).

$a)$ Qual a altura máxima atingida pelo projétil?

$b)$ Qual o alcance do disparo?

Considerando os coeficentes da equação:

\begin{cases}
a&= – 3 \\
b &=60 \\
c &=0
\end{cases}

Vamos determinar a altura máxima atingida pelo projétil usando as coordenadas do vértice $y_{v}$:

\begin{align}
y_{v} &= \frac{ – \Delta }{4a} \\ \\
y_{v} &= \frac{ – (60^2 – 4 \cdot ( – 3) \cdot 0)}{4 \cdot ( – 3)} \\\\
y_{v} &= \frac{60^2}{12} \\ \\
y_{v} &= 300
\end{align}

Logo, a altura máxima atingida é $300$ metros.

E ainda, para determinar o alcance do disparo, vamos encontrar a coordenada $x$ para a qual o projétil toca o solo ($y=0$):

\begin{align}
y&=0 \\ \\
– 3x^2 + 60x &=0\\ \\
– 3x \cdot (x – 20)&=0
\end{align}

Portanto, o alcance do disparo é $20$ metros.

3.3

Tipos de gráficos de uma função quadrática

O formato do gráfico de uma função do segundo grau $f(x)=ax^2 + bx + c$ depende dos coeficientes $a,b$ e $c$. Usando as fórmulas de Báskara, $\Delta = b^2 – 4ac$; dependendo do valor de $\Delta$, o gráfico de $f(x)$ tocará o eixo $x$

  1. Duas vezes: quando $\Delta > 0$, $f(x)$ possuirá duas raízes, a saber
    $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\;\;\;\text{ e }\;\;\; x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$
  2. Uma vez: quando $\Delta = 0$, $f(x)$ possuirá apenas uma raiz, dada por
    $$x = \frac{-b}{2a}$$
  3. Nenhuma vez: quando $\Delta < 0$, não existe a $\sqrt{\Delta}$ nos números reais. Dessa forma, $f(x)$ não possuirá raízes.

Considerando o caso em que $a>0$, a concavidade da parábola estará voltada para cima. Assim, dependendo do valor de $\Delta$, os possíveis formatos para o gráfico de $f(x)$ são:

  • Se $\Delta > 0$, então $f(x)$ possui duas raízes, então o gráfico de $f(x)$ deve cruzar duas vezes o eixo $x$.
  • Se $\Delta = 0$, então $f(x)$ possui apenas uma raiz portanto $f(x)$ tocará o eixo $x$ apenas em um ponto, a saber, na única raiz de $f(x)$.
  • Se $\Delta < 0$, então $f(x)$ não possui raízes. Assim, o gráfico de $f(x)$ não encosta no eixo $x$.

Considerando o caso em que $a<0$, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. Assim, dependendo do valor de $\Delta$, os possíveis formatos para o gráfico de $f(x)$ são:

  • Se $\Delta > 0$, então $f(x)$ possui duas raízes, então o gráfico de $f(x)$ deve cruzar duas vezes o eixo $x$.
  • Se $\Delta = 0$, então $f(x)$ possui apenas uma raiz portanto $f(x)$ tocará o eixo $x$ apenas em um ponto, a saber, na única raiz de $f(x)$.
  • Se $\Delta < 0$, então $f(x)$ não possui raízes. Assim, o gráfico de $f(x)$ não encosta no eixo $x$.

Veja que em $x=0$, a função $f(x)$ vale $c$. Assim, o termo $c$ determina o ponto no qual o gráfico da função $f(x)$ corta o eixo $y$. Esse ponto sempre será $(0,c)$.

3.4

Estudo do sinal da função quadrática

Uma função do segundo $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode assumir valores negativos, positvos ou nulo, dependendo do valor do real $x$. Para estudar os intervalos nos quais esses sinais são assumidos, é útil usar o gráfico da função $f(x)$.

Para primeiro caso, consideremos $a>0$:

  1. Se $\Delta > 0$, então $f(x)$ possuirá duas raízes $x_1$ e $x_2$. Assim, entre as raízes, $f(x)$ assumirá valores negativos, isso é, se $x$ é um real tal que $x_1 < x < x_2$, então $f(x)<0$. Para um real $x’$ tal que $x’ < x_1$ ou $x_2 < x’$, temos que $f(x’)>0$.
  2. Se $\Delta = 0$, então $f(x)$ possuirá apenas uma raíz $x_0$. Neste caso, $f(x) \geq 0$ para quaisquer valor de $x$ real, se anulando apenas em $x_0$.
  3. Se $\Delta < 0$, então $f(x)$ não corta o eixo $x$; dessa forma, $f(x)$ sempre será maior que zero, para qualquer real $x$.

Para o segundo caso, consideremos $a<0$:

  1. Se $\Delta > 0$, então $f(x)$ possuirá duas raízes $x_1$ e $x_2$. Assim, entre as raízes, $f(x)$ assumirá valores positivos, isso é, se $x$ é um real tal que $x_1 < x < x_2$, então $f(x)>0$. Fora desse intervalo, $f(x)$ terá valores negativos, isto é, para um real $x’$ tal que $x’ < x_1$ ou $x_2 < x’$, temos que $f(x’)<0$.
  2. Se $\Delta = 0$, então $f(x)$ possuirá apenas uma raíz $x_0$. Neste caso, $f(x) \leq 0$ para quaisquer valor de $x$ real, se anulando apenas em $x_0$.
  3. Se $\Delta < 0$, então $f(x)$ não corta o eixo $x$; dessa forma, $f(x)$ sempre será menor que zero, para qualquer real $x$.
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