Teoria Função quadrática (2º Grau)

O número de raízes de uma função quadrática também depende dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Chamamos de discriminante e indicamos pelo símbolo $\Delta$ (delta) o número $\Delta = b^2 – 4ac$.

Sabendo o valor do discriminante $\Delta$, pode-se determinar quantas raízes reais a função possui. Mais especificamente:

• $\Delta > 0$ : duas raízes reais.
• $\Delta = 0$ : apenas uma raiz real.
• $\Delta < 0$ : não há raízes reais.

Os valores das raízes são dados através da expressão:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Primeiro iremos calcular o valor do discriminante a partir dos coeficientes:

\begin{cases}
a = 1 \\
b = -1\\
c= -12
\end{cases}

\begin{align}
\Delta &= (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-12) \\
&= 1 + 48 \\
&= 49
\end{align}

Como $\Delta > 0 $, a função terá duas raízes; vamos determiná-las:

$$x= \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm 7}{2}$$

$$x_1 = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \dfrac{1 – 7}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$$

Portanto, as raízes de $y$ são $-3$ e $4$.

Vamos determinar as condições sobre $m$ na função dada por $y=3x^2 – 2x + (m – 1)$, a fim de que:

$a)$ não existam raízes reais

$b)$ haja uma raiz dupla

$c)$ existam duas raízes reais e distintas

Dados os coeficientes

\begin{cases}
a &=\ 3 \\
b &=\ – 2 \\
c &=\ (m – 1)
\end{cases}

Vamos calcular o discriminante $( \Delta )$:

\begin{align}
\Delta &= \ b^2 – 4ac \\
\Delta &= ( – 2)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (m – 1)=4 – 12m + 12=16 – 2m
\end{align}

Agora, vamos analisar cada condição dada:

$a)$ não existam raízes reais

\begin{align}
\Delta < 0 \Rightarrow 16 – 12m < 0 \Rightarrow m > \frac{4}{3} \\
\end{align}

$b)$ haja uma raiz dupla

\begin{align}
\Delta = 0 \Rightarrow 16 – 12m = 0 \Rightarrow m = \frac{4}{3} \\
\end{align}

$c)$ existam duas raízes reais e distintas

\begin{align}
\Delta > 0 \Rightarrow 16 – 12m > 0 \Rightarrow m < \frac{4}{3} \\
\end{align}