Teoria Inequações modulares

Assumindo que $k> 0$, então para uma inequação do tipo:

$$|f(x)| \geq k,$$

há duas opções:

$$f(x) \geq k \quad \text{ou} \quad f(x) \leq -k$$

O conjunto solução será formado pela união das soluções entre estas duas inequações.

Observação

O mesmo desenvolvimento serve para inequações com o sinal de $>$ (maior).

Iremos justificar porque a inequação módulo segue os dois caminhos apresentados através de um exemplo simples.

Considere a seguinte inequação:

$$|x| \geq 2$$

A inequação pergunta “em relação à origem, que números possuem distância maior ou igual a $2$?”

É fácil ver que os números $2, 3, 4, 5, …$ satisfazem esta condição.

Mas perceba que os números negativos $-2, -3, -4, -5,…$ também tem distância maior ou igual a $2$ em relação à origem.

Então podemos dizer que a solução é formada pelos números reais $x$ maiores ou iguais a $2$ ou menores ou iguais a $-2$. Na notação de conjuntos:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | x \leq – 2 \text{ ou } x \geq 2\} \\
S = ]- \infty,- 2] \cup [2, +\infty[ $$

E é por isso que a inequação módulo se abre nestes dois caminhos.

I) \begin{align}
x + 4 &\geq 5 \\
x & \geq 5- 4 \\
x & \geq 1
\end{align}

II) \begin{align}
x + 4 &\leq – 5 \\
x &\leq – 5- 4 \\
x & \leq -9
\end{align}

$$S=\{ x \in \mathbb{R} | x \geq 1 \text{ ou } x \leq – 9\} \\
S = ]- \infty, -9] \cup [1, + \infty[$$

Primeiro, devemos isolar o módulo em um dos membros:

$$4 + |x| > 5 \\ |x| > 5- 4 \\ |x| > 1$$

Agora abrem-se dois caminhos:

I) \begin{align}
x >1
\end{align}

II) $$x < -1$$

Portanto o conjunto solução é:

$$S = \{x \in \mathbb{R} | x < – 1 \text{ ou } x > 1\} \\
S = ]- \infty, -1[ \cup ]1, + \infty[$$

Preste atenção quando for necessário multiplicar a inequação por $-1$: a desigualdade deve ser invertida.

I)
\begin{align}
7- 2x & > 9 \\
- 2x &> 9- 7 \\
- 2x &> 2 \qquad \cdot (-1) \\
2x &<- 2\\
x &< \dfrac{-2}{2} \\
x &< -1
\end{align}

II)
\begin{align}
7- 2x &< – 9 \\
- 2x &<- 9- 7 \\
- 2x &< -16 \qquad \cdot (-1)\\
2x &> 16 \\
x &> \dfrac{16}{2} \\
x &> 8
\end{align}

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | x<-1 \text{ ou } x >8\} \\ S = ]- \infty, -[ \cup ]8, + \infty[$$

Neste caso, é necessário resolver duas inequações do 2º grau. Neste módulo iremos considerar que você sabe como resolvê-las (ou que irá estudar nosso módulo sobre inequações do 2º grau).

I)
\begin{align}
&x^2- 3x- 2 \geq 2 \\
&x^2- 3x- 2- 2 \geq 0 \\
&x^2- 3x- 4 \geq 0 \\
\\
&\Delta = (- 3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (- 4) \\
&\Delta = 9 + 16 \\
&\Delta = 25 \\
\\
x & = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \\
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{3 + 5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \\
x_2 &=& \dfrac{3- 5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1
\end{array}

Utilizamos as raízes para estudar o sinal da função quadrática; sua concavidade é para cima:

Nesta inequação queremos a parte positiva ou nula, portanto sua solução é:

$$S_{I} = \{ x \in \mathbb{R} | x \leq -1 \text{ ou } x \geq 4\}$$

Mas ainda não acabou, é preciso resolver o segundo caminho.

II)
\begin{align}
x^2- 3x- 2 &\leq – 2 \\
x^2- 3x- 2 + 2 &\leq 0 \\
x^2- 3x & \leq 0 \\
x^2- 3x &= 0 \\
x (x- 3) &= 0\\
x_1 &= 0 \\
&\text{ou} \\
x- 3 &= 0\\
x_2 &= 3
\end{align}

Utilizaremos estas raízes para fazer o estudo do sinal da função; ela também possui concavidade para cima:

Mas agora estamos interessados na região nula ou negativa. Portanto sua solução é:

$$S_{II} = \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 3\}$$

Unindo as duas soluções, a solução da inequação módulo será:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | x \leq -1 \text{ ou } 0 \leq x \leq 3 \text{ ou } x \geq 4\} $$

I)
\begin{align}
&2x^2 + 5x- 2 > 10 \\
& 2x^2 + 5x- 2- 10 > 0 \\
& 2x^2 + 5x- 12 > 0 \\
\\
&\Delta = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-12) \\
&\Delta = 25 + 96 \\
&\Delta = 121 \\
\\
x &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} \\
x &= \dfrac{-5 \pm 11}{4}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{- 5 + 11}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\
x_2 &=& \dfrac{- 5- 11}{4} = -\dfrac{16}{4} = -4
\end{array}

A equação representa uma parábola de concavidade para cima; fazendo o estudo dos sinais, queremos a parte positiva:

A solução desta parte é:

$$S_{I} = \left \{ x \in \mathbb{R} | x< -4 \text{ ou } x > \dfrac{3}{2} \right \}$$

II)
\begin{align}
&2x^2 + 5x- 2 < – 10 \\
& 2x^2 + 5x- 2+ 10 < 0 \\
& 2x^2 + 5x + 8 > 0 \\
\\
&\Delta = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot 8 \\
&\Delta = 25- 64 \\
&\Delta = – 39 \\
\end{align}

Como $\Delta < 0$, a parábola não possui raízes e portanto não troca de sinal. Ela possui concavidade para cima e estamos interessados na parte negativa.

O problema é que esta parábola nunca fica negativa. Portanto, a solução desta parte é:

$$S_{II} = \varnothing$$

Unindo as duas soluções, obteremos a solução da inequação módulo:

$$S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x< -4 \text{ ou } x > \dfrac{3}{2} \right \} \\
S = ] – \infty, – 4[ \cup \left ] \dfrac{3}{2}, + \infty \right [$$