Teoria Inequações modulares

Assumindo que $k > 0$, então para uma inequação do tipo:

$$|f(x)| \leq k$$

é verdade que:

$$-k \leq f(x) \leq k$$

O conjunto solução será formado pelos números $x$ reais para os quais $f(x)$ fica entre $k$ e $-k$.

Observação

O mesmo vale para inequações com o sinal de $<$ (menor).

Veja abaixo, através de um exemplo, porque o desenvolvimento da inequação $|f(x)| \leq k$ ocorre de tal maneira.

Considere a inequação:

$$|x| \leq 3$$

Esta inequação pergunta: “quais números tem distância $3$ ou menos em relação à origem?”

Algumas respostas são óbvias, como o próprio $3$, ou $2$, $1$ e $0$, assim como todos os números entre eles.

Mas lembre-se que $|-3| = 3$, e portanto os números $-3$, $-2$, $-1$ também servem.

Portanto a solução de $|x| \leq 3$ é dada da seguinte forma:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | -3 \leq x \leq 3\} \\
S = [-3,3]$$

A maneira mais rápida de resolver a inequação é abrir o módulo da seguinte maneira:

$$-2 \leq x- 1 \leq 2$$

Agora, nosso trabalho é isolar o $x$; iremos evitar o método de “passar para o outro lado” e iremos fazer a mesma operação em todos os membros. Neste caso, deve-se somar $1$ a todos os membros.

$$-2 + 1\leq x- 1 +1 \leq 2 + 1 \\
-1 \leq x \leq 3$$

Portanto a solução será:

$$S = \{x \in \mathbb{R} | – 1 \leq x \leq 3 \} \\
S = [- 1, 3]$$

Antes de pensar que este é um caso trivial, observe como isolar o módulo:

\begin{array}{r c l}
2- |x| &>& – 4 \\ – |x| &>& – 4 – 2 \\ -|x| &>& – 6 \qquad \cdot (-1) \\ |x| &<& 6 \end{array}

Agora basta abrir o módulo:

$$-6 < x < -6$$

A solução, portanto, é:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | -6 < x < -6\} \\
S = ]-6, 6[$$

Iremos abrir o módulo e isolar o $x$ fazendo a mesma operação em todos os membros:

\begin{array}{r c c c l}
- 11 &\leq& 4x + 3 &\leq& 11 \\
- 11- 3 & \leq& 4x + 3- 3 &\leq & 11- 3 \\
- 14 & \leq & 4x & \leq & 8 \\
\dfrac{-14}{4} &\leq& \dfrac{4x}{4} &\leq& \dfrac{8}{4} \\
-\dfrac{7}{2} & \leq & x &\leq& 2
\end{array}

Portanto, o conjunto solução é:

$$S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -\dfrac{7}{2} \leq x \leq 2 \right \} \\
S = \left ] -\dfrac{7}{2}, 2 \right [$$

Antes de abrir o módulo, ele deve ser isolado. Isso será feito através da multiplicação em cruz:

$$\dfrac{|5- x |}{3} < 1 \\ |5- x | < 3 \cdot 1 \\ |5- x | < 3$$

Agora, abrimos o módulo e isolamos o $x$ fazendo a mesma operação em todos os membros.

\begin{array}{r c c c l}
- 3 &<& 5- x & <& 3 \\
- 3- 5 &<& 5- 5- x &<& 3- 5 \\
-8 &<& – x &<& -2 \\
\end{array}

Neste ponto, é necessário multiplicar a inequação por $-1$, pois o $x$ está com sinal de $ – $; as desigualdades são invertidas:

\begin{array}{r c c c l}
-8 &<& – x &<& -2 \qquad \cdot (-1)\\
8 &>& x &>& 2
\end{array}

Para colocar no conjunto solução, apenas arrumamos a sentença para a ordem mais comum:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | 2 < x < 8\} \\
S = ]2,8[$$

Neste caso, quando abrimos o módulo, é necessário resolver duas inequações de segundo grau.

A solução será uma interseção das duas soluções.

I)
\begin{align}
&- 4 \leq x^2 – 2x + 1 \\
&0 \leq x^2- 2x + 1+ 4 \\
&0 \leq x^2- 2x + 5 \\
&x^2- 2x + 5 \geq 0\\
\end{align}

Agora é preciso fazer o estudo de sinal da função quadrática, onde nos interessa a parte positiva.

\begin{align}
&x^2- 2x + 5 = 0 \\
\\
&\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 \\
& \Delta = 4- 20 \\
& \Delta = -16 \\
\end{align}

Como $\Delta < 0$, a função não troca de sinal; sua concavidade é para cima:

Para qualquer $x$ a função é positiva, portanto a solução de I será:

$$S_{I} = \mathbb{R}$$

II)
\begin{align}
& x^2- 2x + 1 \leq 4 \\
& x^2- 2x + 1- 4 \leq 0 \\
& x^2- 2x- 3 \leq 0 \\
\end{align}

Novamente há um estudo de sinal, mas agora queremos a parte negativa

\begin{align}
& x^2- 2x- 3 = 0 \\
\\
&\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) \\
& \Delta = 4 + 12 \\
& \Delta = 16\\
\\
x &= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &= & \dfrac{2 + 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \\
x_2 &=& \dfrac{2- 4}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1
\end{array}

A concavidade da função é para cima, então podemos fazer o seguinte esquema:

A região de interesse fica entre $-1$ e $3$, incluindo estes números (bolinha fechada).

Portanto a solução desta parte é:

$$S_{II} = \{ x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 3\}$$

Agora, fazendo a interseção entre $S_{I}$ e $S_{II}$ teremos:

$$S_{I} \cap S_{II} = S = \{ x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 3\} \\
S = [ – 1, 3]$$

Como no exemplo anterior, a inequação módulo se abre em duas inequações quadráticas.

Iremos resolvê-las separadamente e depois fazer uma interseção entre as soluções:

I)
\begin{align}
& – 6 < x^2 + 4x- 6 \\
& 0 < x^2 + 4x- 6 + 6 \\
& 0 < x^2 + 4x \\
& x^2 + 4x > 0
\end{align}

Iremos fazer o estudo de sinal a partir das raízes da equação:

\begin{align}
x^2 + 4x &= 0 \\
x \cdot (x + 4) &= 0 \\
x_1 &= 0 \\
&\text{ou} \\
x + 4 &= 0 \\
x_2 &= -4
\end{align}

Estamos interessados na parte positiva e a parábola tem concavidade para cima:

Portanto,
$$S_{I} = \{ x \in \mathbb{R} | x< -4 \text{ ou } x > 0\}$$

II)

\begin{align}
& x^2 + 4x- 6 < 6 \\
& x^2 + 4 x- 6- 6 < 0 \\
& x^2 + 4x- 12 < 0\\
\end{align}

Iremos fazer um estudo de sinal a partir das raízes da equação:

\begin{align}
& x^2 + 4x- 12 = 0 \\
\\
&\Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-12) \\
&\Delta =16 + 48 \\
& \Delta = 64\\
\\
x &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} \\
x &= \dfrac{-4 \pm 8}{2}
\end{align}

\begin{array}{r c l}
x_1 &=& \dfrac{-4 + 8}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \\
x_2 &=& \dfrac{-4- 8}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6
\end{array}

Iremos fazer o estudo do sinal com estas raízes e utilizando o fato de que a concavidade da parábola é para cima:

Como queremos a parte negativa, esta solução é:

$$S_{II} = \{ x \in \mathbb{R} | -6 < x < 2\} $$

Agora, é necessário fazer a interseção entre as soluções:

Portanto a solução da inequação módulo será:

$$S = \{ x \in \mathbb{R} | – 6 < x < – 4 \text{ ou } 0 < x < 2\} \\
S = ] – 6,- 4[ \cup ]0, 2[$$