Teoria Juros compostos

É comum que a taxa de rendimento seja apresentada na forma de porcentagem; ela deve ser convertida para representação decimal para ser aplicada na fórmula.

A unidade de tempo deve ser convertida para ser compatível com a unidade da taxa de rendimento; também pode ser feita uma conversão na unidade da taxa para que o tempo seja compatível.

Importante ressaltar que o aumento dos juros compostos é multiplicativo, então é necessário utilizar potências e raízes para fazer as conversões de taxa.

No contexto de juros é comum abreviar a unidade da taxa da seguinte maneira:

• $a.d. = $ ao dia;
• $a.m. = $ ao mês;
• $a.b. =$ ao bimestre;
• $a.a. = $ ao ano;
• etc

Considere os seguintes exemplos:

$\left \{
\begin{align}
i &= 15\% a.a. \\
t &= 4 \text{ meses}
\end{align}
\right.$

O tempo é um período em meses e a taxa é anual. Podemos manter a taxa de $15\%$ e utilizar o seguinte tempo:

$$t = 4 \text{ meses} = \dfrac{4}{12}^{\div 4}_{\div 4} = \dfrac{1}{3} \text{ ano}$$

$\textbf{Ou}$ então manter o tempo como $4$ meses e adequar a taxa de juros, mas isto demanda seguinte cálculo:

Aumento de $15\%$ por ano $\rightarrow$ A quantia é multiplicada por $1,15$ a cada ano.

$$^{12} \hspace{-0.4cm} \sqrt{1,15} \approx 1,0117$$

Isto equivale a ser multiplicada por $1,0117$ a cada mês $\rightarrow$ aumento de $0,0117 = 1,17\%$

$$15\% a.a. = 1,17\% a.m$$

$\left \{
\begin{align}
i &= 7\% a.m. \\
t &= 12 \text{ dias}
\end{align}
\right.$

O tempo é um período em dias e a taxa é mensal. Considerando o mês comercial de $30$ dias, podemos manter a taxa de $7\%$ e utilizar o seguinte tempo:

$$t = 12 \text{ dias} \rightarrow \dfrac{12}{30}^{\div 6}_{\div 6} = \dfrac{2}{5} \text{ mês}$$

$\textbf{Ou}$ então manter o tempo como $12$ dias e adequar a taxa de juros:

Aumento de $7\%$ ao mês $\rightarrow$ quantia é multiplicada por $1,07$ a cada mês.

$$^{30} \hspace{-0.4cm} \sqrt{1,07} \approx 1,00226$$

Isto equivale a ser multiplicada por $1,00226$ cada dia $\rightarrow$ aumento de $0,00226 = 0,226\%$.

$$7\% a.m. = 0,226\%a.d.$$

Obs.: Devido à complexidade, estas operações geralmente são feitas com o auxílio de calculadoras ou de softwares.