Teoria Média

A média geométrica de um conjunto $A=\{a_1,a_2,…, a_n\}$ é calculada através da expressão:
$$\overline{x} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_n}$$

A média geométrica de um conjunto $A=\{a_1,a_2,…, a_n\}$ é calculada através da expressão:
$$\overline{x} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_n}$$

Ela é utilizada em resultados da Geometria Euclidiana, no contexto das progressões geométricas ou quando ocorrem aumentos multiplicativos em sequência.

A altura de um triângulo retângulo referente à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos.
$$h = \sqrt{m . n}$$

O aluguel de uma casa sofreu um aumento de $8\%$ em 2010, depois um aumento de $12\%$ em 2011 e de mais $15\%$ em 2012. Qual foi o aumento médio anual?

Como um aumento percentual se dá multiplicativamente, não podemos calcular a média aritmética destes aumentos.

Aumento de $8\% = 1,08$.
Aumento de $12\% = 1,12$.
Aumento de $15\% = 1,15$.
\begin{array}{c c l}
&\overline{x} &= &\sqrt[{3}]{1,08 \cdot 1,12 \cdot 1,15}\\
& &= &\sqrt[{3}]{1,39104} \\
& &\approx & 1,1163
\end{array}
O valor $1,1163$ corresponde a um aumento de $11,63\%$ por ano.

Outra aplicação da média geométrica é a conversão de taxas porcentuais.

Por exemplo, se um banco cobra a taxa de $60\%$ de juros ao ano, qual é a taxa de juros por mês?

Admitimos, por padrão, que os juros são compostos. Então, sendo $i$ a taxa mensal equivalente:
\begin{align}
(i+1)^{12} &= (1+0,60) \\
(i+1) &= \sqrt{1,60}^{ \hspace{-1.65cm} \small 12} \\
i+1 & \approx 1,0399 \\
i &\approx 0,04
\end{align}

A taxa de juros correspondente é aproximadamente $4\%$ ao mês.