Teoria Média

A média harmônica naturalmente é utilizada quando os elementos envolvidos são taxas de variação (velocidade, vazão etc).

Para calcular a média harmônica somamos os inversos de cada elemento, invertemos essa soma e multiplicamos por $n$. Matematicamente o que se faz é:
$$M = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}+ … + \dfrac{1}{x_n}}$$

Um caminhão-pipa enche uma piscina em $20 min$ enquanto outro caminhão leva meia hora para fazer o mesmo serviço. Juntos, os caminhões-pipa levarão quanto tempo?

Meia hora: $30 min$

\begin{align}
M &= \frac{2}{\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}} \\
&= \frac{2}{\dfrac{3}{60}+\dfrac{2}{60}} \\
&= \frac{2}{\dfrac{5}{60}} = 2 \cdot \dfrac{60}{5} \\
&= 2 \cdot 12 = 24 \; min
\end{align}

A média harmônica entre $30min$ e $20 min$ é $24min$, mas este não é o tempo procurado. Podemos confirmar este fato só de ver que um dos caminhões, sozinho, faz o serviço em $20min$ e com ajuda este tempo deveria ser menor.

De fato, este é o tempo que os dois caminhões-pipa levam para encher duas piscinas. Portanto o valor deve ser dividido por $2$.

$$\frac{24}{2} = 12min$$

Um grupo de turistas faz um percurso de barco com velocidade média de $18km/h$ e depois retorna de helicóptero, seguindo o mesmo percurso, a uma velocidade média de $72km/h$. Qual é a velocidade média do percurso completo?

Como o percurso é o mesmo para as duas velocidades, podemos resolver este problema utilizando apenas a média harmônica.

\begin{align}
M &= \frac{2}{\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{72}} \\
&= \frac{2}{\dfrac{4}{72}+\dfrac{1}{72}} \\
&= \frac{2}{\dfrac{5}{72}} = 2 \cdot \frac{72}{5} \\
&= \frac{144}{5} = 28,8 km/h
\end{align}