Teoria Média

A média ponderada pode ser interpretada, a princípio, como uma forma de abreviar uma média aritmética com elementos repetidos.

De maneira geral, definimos o cálculo da média ponderada de um conjunto $A = \{a_1, a_2, …, a_n \}$ com determinados pesos $P = \{ p_1, p_2, …, p_n \}$ da seguinte forma:

$$\overline{x} = \frac{p_1 \cdot a_1 + p_2 \cdot a_2 + … + p_n \cdot a_n}{p_1 + p_2 + … + p_n} = \frac{\sum \limits_{i=1}^n p_i \cdot a_i}{\sum \limits_{i=1}^n p_i}$$

Os pesos podem ser quantidades, porcentagens, probabilidades ou mesmo valores arbitrários que refletem a importância que cada valor tem no conjunto.

Quando estamos estudando probabilidade, a média ponderada é mais conhecida como valor esperado ou esperança de um conjunto.

A média ponderada pode ser interpretada, a princípio, como uma forma de abreviar uma média aritmética com elementos repetidos.

Um vendedor de picolés vende picolés de frutas por R$ $0,50$ e picolés de chocolate por R$$1,00$. Em determinado dia ele vendeu $36$ picolés de morango, $26$ de limão, $28$ de uva e $42$ de chocolate. Em média, quanto ele ganhou por picolé vendido?

$36 + 26 + 28 = 90$ picolés de fruta
$42$ picolés de chocolate
Total de picolés $= 150$

Em vez de repetirmos $90$ vezes a soma $0,50 + 0,50 + 0,50 + … + 0,50$ podemos simplesmente fazer $90 \cdot 0,50$. O mesmo vale para os picolés de chocolate.

\begin{array}{c c l}
&\overline{x} &= &\frac{90 \cdot 0,50 + 42 \cdot 1,00}{150} \\
& &= &\frac{45 + 42}{150} \\
& &= & \frac{87}{150}\\
& &= & 0,58
\end{array}

R.: O vendedor de picolés ganha, em média, R$$0,58$ por picolé vendido.

Observe que a média é um valor mais próximo de R$ $0,50$ do que de R$$1,00$, justamente porque foram vendidos mais picolés de fruta.
Em outras palavras, o valor de R$$0,50$ possui mais peso do que o valor de R$$1,00$.

Suponha que a nota final do professor Moacir seja calculada como a média ponderada entre as notas de uma prova mensal, uma prova bimestral e um trabalho em grupo, todas valendo de $0$ a $10$. O peso da prova mensal é $1$, da prova bimestral é $2$ e do trabalho é $3$. Para passar na matéria é preciso uma média superior a $5,0$.

Suponha que Carlinhos tenha tirado $2,0$ na prova mensal, $3,5$ na bimestral e $8,0$ no trabalho em grupo. Qual é a nota final de Carlinhos?

\begin{array}{c c l}
&\overline{x} &= &\frac{1 \cdot 2,0 + 2 \cdot 3,5 + 3 \cdot 8,0}{1+2+3} \\
& &= &\frac{2 + 7 + 24}{6} \\
& &= & \frac{33}{6} \\
& &= & 5,5
\end{array}

Com tal sistema de média Carlinhos conseguiria passar na matéria, pois ele dá maior importância para o trabalho em grupo. Se todas as notas possuíssem a mesma importância (peso $= 1$), sua nota final seria $\frac{13,5}{3} = 4,5$ e ele não passaria.

O bronze é uma liga metálica cuja composição é formada basicamente por $90\%$ de cobre e $10\%$ de estanho. Considere a densidade do cobre como $8,92 g/cm^3$ e do estanho como $7,31 g/cm^3$. Qual a densidade do bronze?
\begin{array}{c c l}
&\overline{x} &= &\frac{90\% \cdot 8,92 + 10\% \cdot 7,31}{10\% + 90\%} \\
& &= &\frac{0,9 \cdot 8,92 + 0,1 \cdot 7,31}{0,1+0,9}\\
& &= &\frac{8,028+0,731}{1} \\
& &= & 8,759 \approx 8,76 g/cm^3
\end{array}