Teoria Permutação

$$ P^k_n = \dfrac{ n! }{ k! } $$

Quando temos um conjunto de $n$ objetos, pessoas ou coisas, que possua $k$ elementos repetidos, então para calcular todas as possíveis trocas dessas $n$ coisas, vamos utilizar permutação com repetição.

Exemplos:

$1)$ De quantas maneiras podemos empilhar sete livros, sabendo que há $3$ livros exatamente iguais?

$$ P^3_7 = \dfrac { 7! }{3! } = \dfrac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! }{ 3! } = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840 \; \text{maneiras.} $$

$2)$ Quantos anagramas a palavra PROFESSORA possui?

Professora possui $10$ letras. Entre elas, $2$ letras R, $2$ letras S e $2$ letras O. Então:
$$P^{2,2,2}_{10} = \dfrac { 10! }{2! \cdot 2! \cdot 2! } = \\
\dfrac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2! }{ 2! \cdot 2! \cdot 2! } = \\
\dfrac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \hspace{-0.3cm}/ \cdot 3 }{ 2\hspace{-0.3cm}/ \cdot 2 \hspace{-0.3cm}/ } = \\
10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 = \\
453.600 \; \text{anagramas.} $$