Teoria Radiciação

Sejam $a,b,m,n$ e $p$ números tais que $a,b$ $ \in \mathbb{R} _ + $,$m \in \mathbb{Z} $, $n \in \mathbb{N} ^* $, $p \in \mathbb{N} ^*$ . Então valem as seguintes propriedades:

Para multiplicar raízes de mesmo índice multiplicamos os radicandos e conservamos o índice.

\begin{align}
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} &=\sqrt[n]{a \cdot b}
\end{align}

Exemplo:

$$ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7} =\sqrt[3]{5 \cdot 7}= \sqrt[3]{35}$$

Para dividir raízes de mesmo índice dividimos os radicandos e conservamos o índice:

\begin{align}
\large \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} &= \sqrt[n]{\large \frac{a}{b}}, b \neq 0
\end{align}

Exemplos:

$ \large \frac{\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\large \frac{9}{3}}=\sqrt[5]{3}$

Se existir um fator comum ao índice e ao expoente do radicando podemos dividir o índice e o expoente do radicando por esse fator, simplificando assim o cálculo da raiz:

\begin{align}
\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}} &= \sqrt[n]{a^m}
\end{align}

Exemplo:

$$\sqrt[12]{7^8} = \sqrt[3\cdot 4]{2^{2\cdot 4}} = \sqrt[3]{7^2}$$

Quando uma raiz está elevada a um determinado expoente, o expoente pode ser inserido para dentro da raiz, tornando-se expoente do radicando.

\begin{align}
(\sqrt[n]{a})^m &= \sqrt[n]{a^m}
\end{align}

Exemplo:

$$(\sqrt[3]{3})^2= \sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$$

Neste caso, devemos conservar o radicando e multiplicar os índices.

\begin{align}
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} &= \sqrt[n \cdot m]{a}
\end{align}

Exemplo:

$$ \sqrt{\sqrt[3]{6}}=\sqrt[2 \cdot 3]{6}=\sqrt[6]{6}$$

$1-$ Efetue:

$a)$ $\sqrt5 \cdot \sqrt7$

Repare que os radicais possuem o mesmo índice e aplicando a Propriedade 1.1:

$\sqrt5 \cdot \sqrt7=\sqrt35$

$b)$ $(\sqrt7)^2=$

Neste exercício há uma raiz elevada a um determinado expoente, conforme Propriedade 1.4:

$(\sqrt7)^2=\sqrt{7^2}=7$

$c)$ $\sqrt[12]{7^8}$

Usando a Propriedade 1.3, verificamos que existe um fator comum entre o índice e o expoente do radicando que é número $4$ :

$\sqrt[12]{7^8}= \sqrt[3\cdot4]{7^{2 \cdot 4}}=\sqrt[3]{7^2}$

$d)$ $\sqrt[5]{31 + \sqrt[6]{10 – \sqrt{83 – \sqrt{4}}}}$

Usando a Propriedade 1.5 vamos resolver este desafio de raiz dentro de uma raiz.

Primeiro, vamos determinar a raiz mais interna nesta expressao que é $\sqrt4$:

$\sqrt[5]{31 + \sqrt[6]{10 – \sqrt{83 -2}}}$
$\sqrt[5]{31 + \sqrt[6]{10 – \sqrt{81}}}$
$\sqrt[5]{31 + \sqrt[6]{10 -9}}$
$\sqrt[5]{31 + \sqrt[6]{1}}$
$\sqrt[5]{32}$

Agora, vamos decompor o número $32$ em fatores primos :

$\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2$

$e)$ Determinar $\sqrt{\large \frac{x}{y}\sqrt[3]{\large \frac{y}{x}}}$, com $x > 0$ e $y > 0$.

Vamos usar a definição de Raiz Aritmética para $\sqrt[3]{\large \frac{y}{x}}$:

\begin{align}
\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a \ e \ b \geq 0
\end{align}

Vamos lá !

\begin{align}
\sqrt{\large \frac{x}{y} \cdot \large \frac{y^{\large\frac{1}{3}}}{x^{\large \frac{1}{3}}}}=\sqrt{\large \frac{x{\large\frac{3}{3}}}{y{\large\frac{3}{3}}} \cdot \large \frac{y^{\large\frac{1}{3}}}{x^{\large \frac{1}{3}}}} = \sqrt{\large \frac{x{\large\frac{2}{3}}}{y{\large\frac{2}{3}}}}=\large\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{y^2}}
\end{align}

Agora, fazendo a racionalização:

\begin{align}
\large\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{y^2}} \cdot \large\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{y}}=
\large \frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{\sqrt[3]y^3}=\large \frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{y}
\end{align}