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Racionalização de denominadores

Para facilitar os cálculos é comum eliminar as raízes dos denominadores das frações, através de um processo chamado Racionalização.

Assim, seja o resultado $\large \frac{1}{\sqrt2}$ que é aproximadamente $\large \frac{1}{1,41}$ e que com a racionalização de denominadores:

\begin{align}
\large \frac{1}{\sqrt2} &= \large \frac{1}{\sqrt2} \cdot \large \frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\large \frac{\sqrt2}{2}
\end{align}

Vamos analisar os diferentes casos de racionalização:

Caso 1: o denominador é uma raiz quadrada

Se o denominador é uma raiz quadrada vamos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada que aparece no denominador

Exemplo:

$$\large \frac{2}{\sqrt5}=\large \frac{2}{\sqrt5}\cdot\large \frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\large \frac{2\sqrt5}{\sqrt5^2}=\large \frac{2\sqrt5}{5}$$

Caso 2: o denominador é uma raiz de índice $n$ maior do que $2$.

Neste caso, o denominador é do tipo $\sqrt[n]{a^p}$, com $n > 2$ e $p$ um número natural menor que $n$.

Repare que vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt[n]{a^{n – p}}$ :

\begin{align}
\sqrt[n]{a^p} \cdot \sqrt[n]{a^{n – p}}&= \sqrt[n]{a^p \cdot {a^{n – p}}}=\sqrt[n]{a^{p + n – p}}=\sqrt[n]{a^n}=a
\end{align}

Exemplo:

$$\large \frac{1}{\sqrt[3]7}=\large \frac{1}{\sqrt[3]7} \cdot \large \frac{\sqrt[3]{7^{3 – 1}}}{\sqrt[3]{7^{3 – 1}}}=\large \frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\large \frac{\sqrt[3]{49}}{7}$$

Caso 3: o denominador é do tipo $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$.

Se o denominador é da forma $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, lembrando que o conjugado de $\sqrt2 + 1$ é $\sqrt2 – 1$, obtido pela troca de sinal de um dos termos.

Exemplo:

$$\large \frac{\sqrt2}{\sqrt7 – 1}=\large \frac{\sqrt2}{\sqrt7 – 1}\cdot \large \frac{(\sqrt7 + 1)}{(\sqrt7 + 1)}=\large \frac{\sqrt2(\sqrt7 + 1)}{(\sqrt7)^2 – 1^2}=\large \frac{\sqrt2(\sqrt7 + 1)}{6}$$

Repare que neste exemplo usamos o Produto Notável $(a + b)(a – b)=a^2 – b^2$ para o denominador.

3.1

Exemplos

$1$- Efetue:

$a)$ $\large \frac{2}{\sqrt5 – \sqrt3} – \large\frac{2}{\sqrt[3]2}$

Para efetuarmos esta subtração, primeiro, vamos racionalizar o primeiro termo :

\begin{align}
\large \frac{2}{\sqrt5 – \sqrt3}&=\large \frac{2}{\sqrt5 – \sqrt3} \cdot \large \frac{(\sqrt5 + \sqrt3)}{(\sqrt5 + \sqrt3)}
\end{align}

E aplicando a fatoração $(a + b) \cdot (a – b)= a^2 – b^2$:

\begin{align}
\large \frac{2}{\sqrt5 – \sqrt3} \cdot \large \frac{(\sqrt5 + \sqrt3)}{(\sqrt5 + \sqrt3)}=\large \frac{2(\sqrt5 + \sqrt3)}{5 – 3}= \large \frac{2(\sqrt5 + \sqrt3)}{2}= \sqrt5 + \sqrt3
\end{align}

Agora, vamos racionalizar o segundo termo :

\begin{align}
\large\frac{2}{\sqrt[3]2}=\large\frac{2}{\sqrt[3]2} \cdot \large\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}=2\cdot\large\frac{\sqrt[3]{4}}{2}= \sqrt[3]{4}
\end{align}

Logo,

\begin{align}
\large \frac{2}{\sqrt5 – \sqrt3} – \large\frac{2}{\sqrt[3]2}=\sqrt{5} + \sqrt{3} – \sqrt[3]{4}
\end{align}

Espcex mil vertical 1