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Redução de radicais ao mesmo índice

Dados os números $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$ e $\sqrt[4]{7}$, vamos reduzir os radicais ao mesmo índice. Vamos lá !

Primeiro, vamos calcular o $M M C $ dos índices:

$M M C (2,3,4)=12$

Agora, usando a propriedade 1.3 Fator comum ao índice e ao expoente do radicando:

$$\sqrt{2}=\sqrt[2\cdot 6]{2^{1\cdot 6}}=\sqrt[12]{64}$$
$$\sqrt[3]{5}=\sqrt[3\cdot 4]{5^{1\cdot 4}}=\sqrt[12]{625}$$
$$\sqrt[4]{7}=\sqrt[4\cdot 3]{7^{1\cdot 3}}=\sqrt[12]{343}$$

2.1

Exemplos

$1$- Efetue

$a)$ $\sqrt2 \cdot \sqrt[3]{3}=$

Neste exercício, primeiro, vamos determinar o $ M M C $ entre os índices $(2,3)$ :

$$M M C (2,3)=6$$

Agora, vamos reduzir os radicais ao mesmo índice $6$ aplicando a Propriedade 1.3 :

$\sqrt[2\cdot3]{2^{1 \cdot3}} \cdot \sqrt[2\cdot3]{3^{1 \cdot2}}= \sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{3^2}$

Repare que os radicais possuem o mesmo índice e aplicando a Propriedade 1.1 :

$\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{3^2}= \sqrt[6]{8\cdot9}=\sqrt[6]72$

$b)$ $\sqrt{10} \cdot \sqrt[5]{7}=$

Neste exercício, primeiro, vamos determinar o $ M M C $ entre os índices $(2,5)$ :

$$ M M C (2,5)=10$$

Como o $ M M C $ é $ 10$, vamos reduzir os radicais ao mesmo índice $10$. Vamos lá !

$\sqrt[2\cdot5]{10^{1 \cdot5}} \cdot \sqrt[5\cdot2]{7^{1 \cdot2}}= \sqrt[10]{10^5}\cdot\sqrt[10]{7^2}$

Repare que os radicais possuem o mesmo índice e aplicando a Propriedade 1.1 :

$\sqrt[10]{10^5}\cdot\sqrt[10]{7^2}= \sqrt[10]{100000\cdot49}=\sqrt[10]{4900000}$

Espcex mil vertical 1