Teoria Sequência

Veja a seguir alguns exemplos de sequências e suas leis de formação.

(domingo, segunda-feira, terça-feira, $\dots$, sábado)

Esta sequência é finita.

$$(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots)$$

Ela pode ser definida através de uma fórmula de recorrência:

$$\left \{ \begin{array}{l}
a_1 = 1 \\ a_n = a_{n-1} + 2
\end{array}\right .$$

Ou através de um termo geral, onde $n$ é a posição que o número ocupa:

$$a_n = 2n- 1$$

Esta é uma sequência infinita.

É uma das sequências mais famosas; um termo da sequência de Fibonacci é encontrado a partir da soma dos dois anteriores; os dois termos iniciais da sequência são $1$ e $1$.

$$(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …)$$

Sua fórmula de recorrência é escrita da seguinte forma:

\begin{align*}
& a_1 = 1 \\
& a_2 = 1 \\
& a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \\
\end{align*}

É uma sequência infinita e crescente.

Os números primos

$$ (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …) $$

É um conjunto ordenado e podemos dizer quem é o primeiro termo, o segundo, o terceiro etc.

$$a_1 = 2 \\ a_2 = 3 \\ a_3 = 5 \\ \vdots$$

Embora até hoje não tenha sido descoberta a relação entre um número e o próximo na sequência dos primos, o conjunto dos números primos forma uma sequência.

É uma sequência crescente e é possível provar que existem infinitos números primos.

Encontre os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é $a_{n}=3n + 16$, $n \in \mathbb{N} $.

Para conhecer os termos dessa sequência, é preciso atribuir sucessivamente valores para $n$ $(n=1,2,3,4,5)$.

\begin{align}
n=1 \rightarrow a_{1} &= 3 \cdot 1 + 16 = 19 \\
n=2 \rightarrow a_{1} &= 3 \cdot 2 + 16 = 22 \\
n=3 \rightarrow a_{1} &= 3 \cdot 3 + 16 = 25 \\
n=4 \rightarrow a_{1} &= 3 \cdot 4 + 16 = 28 \\
n=5 \rightarrow a_{1} &= 3 \cdot 5 + 16 = 31 \\
\end{align}

Portanto, os termos são $(19,22,25,28,31)$.

A lei de formação dos elementos de uma sequência é $a_{n}=3n – 16$, $n \in \mathbb{N} ^{*}$. O número $113$ pertence a esta sequência ?

Se quisermos saber se o número $113$ pertence à sequência, devemos substituir $a_{n}$ por $113$ e verificar se a equação obtida tem solução natural:

\begin{align}
113 &= 3n – 16 \\
3n&=129 \\
n&=43
\end{align}

Logo, $113$ pertence à sequência e ocupa a $43^{a}$ posição.

Vamos construir a sequência definida pelas relações :

\begin{cases}
a_{1} &=\ 1 \\
a_{n + 1} &=\ 2 \cdot a_{n}, n \in \mathbb{N} ,n \geq 1
\end{cases}

Repare que a segunda sentença indica como obter $a_{2}$ a partir de $a_{1}$,$a_{3}$ a partir de $a_{2}$,$a_{4}$ a partir de $a_{3}$, etc.

Para isso, é preciso atribuir valores a $n$:

\begin{align}
n=1 \rightarrow a_{2} &= 2 \cdot a_{1}=2 \cdot 1=2 \\
n=2 \rightarrow a_{3} &= 2 \cdot a_{2}=2 \cdot 2=4 \\
n=3 \rightarrow a_{4} &= 2 \cdot a_{3}=2 \cdot 4=8 \\
n=4 \rightarrow a_{5} &= 2 \cdot a_{4}=2 \cdot 8=16 \\
\end{align}

Logo, a sequência procurada é $(1,2,4,8,16, …)$.

Determine o sexto termo da sequência definida pela lei de recorrência:

\begin{cases}
a_{1}&=\ 2 \\
a_{n + 1} &=\ 3 \cdot a_{n},n \in \mathbb{N} ^{*}
\end{cases}

Vamos atribuir valores a $n$:

\begin{align}
n=1 \rightarrow a_{2} &= 3 \cdot a_{1}=3 \cdot 2=6 \\
n=2 \rightarrow a_{3} &= 3 \cdot a_{2}=3 \cdot 6=18 \\
n=3 \rightarrow a_{4} &= 3 \cdot a_{3}=3 \cdot 18=54 \\
n=4 \rightarrow a_{5} &= 3 \cdot a_{4}=3 \cdot 54=162 \\
n=5 \rightarrow a_{6} &= 3 \cdot a_{4}=3 \cdot 162=486 \\
\end{align}

Logo, o sexto termo da sequência é $486$.