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Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-6x+5}}{\sqrt[3]{x^2-4}}$.

a) $ \mathbb{R} \{-2,2\}$

b) $(-\infty,-2) \cup (5+\infty)$

c) $(-\infty,-2) \cup (-2,1] \cup [5,+\infty)$

d) $(-\infty,1) \cup (5,+\infty)$

e) $(-\infty,-2] \cup [2,+\infty)$

","body":"Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-6x+5}}{\sqrt[3]{x^2-4}}$. *a)* $ \mathbb{R} \{-2,2\}$ *b)* $(-\infty,-2) \cup (5+\infty)$ *c)* $(-\infty,-2) \cup (-2,1] \cup [5,+\infty)$ *d)* $(-\infty,1) \cup (5,+\infty)$ *e)* $(-\infty,-2] \cup [2,+\infty)$","answer_html":"

O exercício está perguntando o domínio da função $f$.

Temos que reparar duas coisas:

No numerador, temos uma raíz quadrada. Para que $f$ esteja bem definida, o que está dentro da raíz deve ser não negativo.
O denominador não pode ser zero e para isso basta que a expressão dentro da raíz cúbica seja diferente de zero.

Ainda, vale a pena frisar que o que está dentro da raíz cúbica pode ser positivo ou negativo. Desde que não seja zero, $f$ estará bem definida.

Vamos às contas:

i) $x^2 – 6x + 5 \geq 0$

Resolvendo por soma e produto (ou Bhaskara), você encontra as raízes 1 e 5.
'Questao

$x^2 – 6x + 5 \geq 0 $ quando $x \in (-\infty,1] \cup [5, +\infty)$.

ii) $x^2 – 4 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq \pm 2$

'Questao

Fazendo a interseção dos intervalos encontrados, vemos que temos apenas que remover $-2$ e $2$ do intervalo encontrado em i.

'Questao

$$ S=(-\infty,-2) \cup (-2,1] \cup [5, + \infty) $$

Alternativa C.

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