{"id":197,"title":"3x3 - Cramer","body_html":"

Qual é o valor de $z$ que satisfaz o seguinte sistema?
$\left \{ \begin{array}{c c c}
x + 3y + 3z &=&0 \\
-x +2 y-z &=& 2 \\
x-2y + 5z&=&2
\end{array} \right.$

","answer_html":"

Como o exercício só pergunta sobre uma das incógnitas é oportuno utilizar o método de Cramer, pois ele resolve cada incógnita separadamente.

Primeiro, deve-se calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

$$\det A = \begin{array}{|c c c|}
1 & 3 & 3 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & 5
\end{array} = \begin{array}{c}(10 – 3 + 6 ) – (6 + 2 -15) =\\
13 -( -7) = \\
13 + 7 =\\
20
\end{array}$$

Agora devemos calcular o determinante da matriz parcial de $z$, trocando sua coluna pela coluna dos termos independentes:

$$\det A_z = \begin{array}{|c c c|}
1 & 3 & 0 \\
-1 & 2 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array} = \begin{array}{c}
(4 + 6 + 0) – (0 -4 -6) =\\
10 – (-10) =\\
20
\end{array}$$

Para determinar o valor de $z$ basta utilizar a seguinte relação:
$$z = \dfrac{\det A_z}{\det A} = \dfrac{20}{20} = 1$$

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