{"id":211,"title":"3x3 Cramer","body_html":"

Determine a solução do sistema abaixo utilizando o método de Cramer:

$\left \{ \begin{array}{c c c}
2x + y + z &=&10 \\
x – y – z &=&-7 \\
x + 2y – 2z &=&-3
\end{array} \right.$

","answer_html":"

O primeiro passo do método de Cramer é calcular o determinante da matriz $A$ dos coeficientes:
$$\det A = \begin{array}{|c c c|}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & -2
\end{array} = \begin{array}{c}
( 4 -1 + 2) – (-1 – 4 -2 ) = \\
5 – (-7) = \\
5 + 7 = \\
12
\end{array}$$

Agora iremos calcular os determinantes das matrizes parciais. Em cada uma substituímos a coluna de uma letra pela coluna dos resultados.

$$\det A_x = \begin{array}{|c c c|}
10 & 1 & 1 \\
-7 & -1 & -1 \\
-3 & 2 & – 2
\end{array} = \begin{array}{c}
( 20-3-14) – (-3-20 + 14) = \\
20 – 17 – (-23 + 14)= \\
3 – (-9) = \\
12
\end{array}$$

$$\det A_y = \begin{array}{|c c c|}
2 & 10 & 1 \\
1 & -7 & -1 \\
1& -3 & – 2
\end{array} = \begin{array}{c}
( 28-10-3) – (-7+6-20) = \\
28-13 – (6-27)= \\
15 – (-19) = \\
36
\end{array}$$

$$\det A_z = \begin{array}{|c c c|}
2 & 1 & 10 \\
1 & -1 & -7 \\
1& 2 & – 3
\end{array} = \begin{array}{c}
( 6 – 7 + 20) – (-10 -28 – 3) = \\
26-7 – (-41)= \\
19 + 41 = \\
60
\end{array}$$

Para determinar as incógnitas agora basta dividir cada determinante parcial pelo determinante principal:

\begin{align}
x &= \dfrac{\det A_x}{\det A} = \dfrac{12}{12} = 1 \\
y &= \dfrac{\det A_y}{\det A} = \dfrac{36}{12} = 3 \\
z &= \dfrac{\det A_z}{\det A} = \dfrac{60}{12} = 5 \\
\end{align}

Portanto o conjunto solução do sistema é:
$$S = \{(1, 3, 5) \}$$

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