{"id":202,"title":"Discussão 3x3","body_html":"

Considere o sistema de três incógnitas abaixo:
$\left \{ \begin{array}{r c c}
-y + az &=& -2 \\
x + y + z &=& a \\
ax -2y + 4z &=&-5
\end{array}\right.$

Para quais valores de $a$ o sistema é possível e determinado?

","answer_html":"

Discutiremos este sistema utilizando o método de Kramer. Para que o sistema seja possível e determinado basta que o determinante da matriz dos coeficientes $A$ não seja nulo.

$$\det A = \begin{array}{| c c c|}
0 & -1 & a \\
1 & 1 & 1 \\
a & -2 & 4
\end{array} = \begin{array}{c}
(0 -a -2a) – (a^2 + 0 – 4) = \\ -3a – (a^2 – 4) = \\ -3a – a^2 +4 \end{array} $$

\begin{align}
\det A \neq 0 \Rightarrow -3a -a^2 +4 \neq 0
\end{align}

Para resolvermos esta inequação, iremos verificar as raízes da equação de 2ª grau.

\begin{align}
-3a -a^2 +4 &= 0 \qquad \cdot (-1)\\
a^2 + 3a – 4 &=0
\end{align}

Resolvendo por soma e produto:
$S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{1} = -3 \\
P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{1} = -4$
Os números que somados resultam em $-3$ e que multiplicados resultam em $-3$ são os seguintes:
$$a_1 = -4 \qquad a_2 = 1$$

Como não queremos que o resultado da expressão quadrática seja $0$, temos uma restrição para os valores de $a$:
$$a\neq -4 \quad \text{e} \quad a\neq 1$$

Desta maneira o sistema será possível e determinado.

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