{"id":201,"title":"Discussão 2x2","body_html":"

Considere o sistema de duas incógnitas abaixo:
$\left \{ \begin{array}{c c c}
6x + ay &=& 12 \\
4x + 4y &=& b
\end{array}\right.$

Qual deve ser o valor das constantes $a$ e $b$ para que o sistema seja possível e indeterminado?

","answer_html":"

Iremos discutir o sistema utilizando os determinantes do método de Kramer. Para que ele seja possível e indeterminado, todos os determinantes devem ser nulos.

Primeiro, o determinante da matriz dos coeficientes:
$$\det A = \begin{array}{|c c c|}
6 & a \\
4 & 4
\end{array} = \begin{array}{c}
24 – 4a
\end{array}$$

$$\begin{align}
\det A = 0 \Rightarrow 24 – 4a &= 0 \\
24 &= 4a \\
a &= \dfrac{24}{4} \\
a &= 6
\end{align}$$

Então já sabemos que o valor de $a$ deve ser $6$. Veremos agora os determinantes das matrizes parciais.

No determinante da matriz parcial de $x$, trocamos a coluna do $x$ pela coluna dos termos independentes:

$$\det A_x = \begin{array}{|c c c|}
12 & 6 \\
b & 4
\end{array} = \begin{array}{c} 48 – 6b\end{array}$$

\begin{align}
\det A_x = 0 \Rightarrow 48 – 6b &= 0 \\
48 &= 6b \\
b &= \dfrac{48}{6} \\
b &= 8
\end{align}

Então o valor de $b$ deve ser $8$. O exercício ainda terminou, é preciso conferir o determinante da matriz parcial $A_y$: se ele não for nulo, o sistema será impossível.

$$\det A_y = \begin{array}{|c c |}
6 & 12 \\
4 & 8
\end{array} = \begin{array}{c} 48 – 48 = 0\end{array}$$

Mas isso não aconteceu, portanto o sistema é possível e indeterminado desde que $a = 6$ e $b = 8$.

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