{"id":210,"title":"Sistema 4x3","body_html":"

Determine, se possível, a solução do sistema abaixo:
$\left \{ \begin{array}{c c c}
3x + 2y + 2z &=& 3 \\
x \; – 2y \; + z &=& -7 \\
4x \qquad + 3z &=& -4 \\
5x -2y + 4z &=& -11
\end{array} \right.$

","answer_html":"

Iremos escalonar o sistema para verificar quantas equações são válidas neste sistema. Para facilitar o processo iremos trocar a primeira linha com a segunda.

$$\begin{pmatrix}
3 & 2 & 2 & 3 \\
1 & -2 & 1 & -7 \\
4 & 0 & 3 & -4 \\
5 & -2 & 4 & -11
\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & -7 \\
3 & 2 & 2 & 3 \\
4 & 0 & 3 & -4 \\
5 & -2 & 4 & -11
\end{pmatrix} \begin{array}{c} \\ L_2 – 3L_1 \\ L_3 – 4L_1 \\ L_4 – 5 L_1 \end{array} \Rightarrow \\
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & -7 \\
3-3 & 2+6 & 2-3 & 3+21 \\
4-4 & 0+8 & 3-4 & -4+28 \\
5-5 & -2+10 & 4-5 & -11+35
\end{pmatrix} = \\
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & -7 \\
0 & 8 & -1 & 24 \\
0 & 8 & -1 & 24 \\
0 & 8 & -1 & 24
\end{pmatrix} \begin{array}{c} \\ \\ L_3 – L_2 \\ L_4 – L_2 \end{array} \Rightarrow \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & -7 \\
0 & 8 & -1 & 24 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

Portanto o sistema só possui 2 equações válidas para 3 incógnitas, ou seja, é possível e indeterminado; iremos expressar uma solução geral para o sistema.

$\left \{ \begin{array}{r c c c}
x -2y + z &=& -7 &\quad \text{I}\\
8y – z &=& 24 &\quad \text{II}
\end{array}\right.$

Utilizando $z$ como parâmetro:
$$z = t$$

A equação $\text{II}$ fica:
\begin{align}
8y – t &= 24 \\
8y &= 24 + t \\
y &= \dfrac{24+t}{8}
\end{align}

E levando este valor à equação $\text{I}$:
\begin{align}
x- 2 \hspace{-0.3cm}/ \cdot \left (\dfrac{24+t}{8_4\hspace{-0.55cm}/}\right) + t &= -7 \\
x -\dfrac{24+t}{4} + t &= -7 \\
x &= \dfrac{24+t}{4} – t – 7 \\
x &= \dfrac{24+t – 4t – 28}{4} \\
x &= \dfrac{-3t -4}{4}
\end{align}

A solução fica expressa da seguinte forma:
$$S= \left \{ \left( \dfrac{-3t -4}{4}; \dfrac{24+t}{8}; t\right) \right \}, t \in \mathbb{R}$$

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