Teoria Função composta

Apresentaremos a seguir alguns exemplos de como compor funções e de como trabalhar com o cálculo de valores utilizando a função composta.

Dadas as duas funções iremos calcular $g \circ f(x)$ e o valor de $g(f(2))$.

\begin{align}
g \circ f (x) = &g(f(x)) = g(3x-1) \\
\\
g(3x-1) &= (3x-1)^2 \\
& = 9x^2 – 6x + 1
\end{align}

Agora, observe os cálculos de $g(f(2))$ de duas maneiras diferentes:
$I)$ Calculando uma função após a outra \begin{align}
f(2) &= 3 \cdot 2 – 1 \\
&= 6 – 1 \\
&= 5\\
\\
g(5) &= 5^2 \\
&= 25
\end{align}

$II)$ Utilizando a composta das funções \begin{align}
g \circ f(2) & = 9 \cdot 2^2 – 6 \cdot 2 + 1\\
& = 9 \cdot 4 – 12 + 1\\
& = 36 – 11 \\
& = 25
\end{align}

Observe que é possível compor $c \circ m$ pois $Im_m = \mathbb{R}^+ = D_c$, isto é, não teremos o risco de calcular raiz quadrada de número negativo.
\begin{align}
c \circ m (x) = c(m(&x)) = c(|-2x+3|) \\
\\
c(|-2x+3|) &= \sqrt{|-12x+3|} \\
\end{align}

Neste caso não é possível simplificar a composta; observe que o cálculo de $c \circ m(1)$, por exemplo, acaba sendo feito por partes, calculando-se primeiro $m(1)$ e depois $c(m(1))$.
\begin{align}
c \circ m(1)& = \sqrt{|-12 \cdot 1 +3|} \\
& = \sqrt{|-12 +3|} \\
& = \sqrt{|-9|}\\
& = \sqrt{9}\\
& = 3
\end{align}

O valor $s \circ r(4)$ será calculado através da composta.
\begin{align}
s \circ r (t) = s(r(t)) &= s(\sqrt{5-t}) \\
\\
s(\sqrt{5-t}) & = (\sqrt{5-t})^2 – 1\\
& = (5-t) – 1\\
& = 4 – t\\
\\
s \circ r(4) &= 4 – 4 \\
&= 0
\end{align}

Dada a função $f(x) = 2x -1,$ iremos calcular $f^3(x)$.

Como $f^3(x) = f(f(f(x)))$, primeiro deve-se calcular $f(f(x))$.

\begin{align}
f(f(x)) &= f(2x-1) \\
f(f(x)) &= 2(2x-1) – 1 \\
f(f(x)) &= 4x-2 – 1 \\
f(f(x)) &= 4x -3
\end{align}

Agora iremos substituir este resultado em $f(f(f(x)))$.

\begin{array}{c c l}
f(\underbrace{f(f(x))}_{4x-3}) &=& f(4x-3) \\
f(f(f(x))) &=& 2(4x – 3) – 1 \\
f(f(f(x)))&=& 8x – 6 – 1 \\
f(f(f(x)))&=& 8x- 7
\end{array}

Portanto,
$$f^3(x) = 8x- 7$$