Teoria Função composta

Dadas uma função composta $f \circ g(x)$ e a função “de dentro” $g(x)$ é possível determinar a função $f(x)$.

Para isso, deve-se substituir a função $g(x)$ por uma única variável, digamos $y$; para isso, a variável $x$ também será substituída, mas por uma expressão de $y$.

Queremos determinar a lei da função $f$ a partir das informações dadas:

$f\circ g(x) = f(g(x)) = 3x^2 – 10x + 1 \\
g(x) = x + 2$

Substitua $g(x)$ “dentro” da $f$:

\begin{array} {c c}
f(x+2) = 3x^2 – 10x + 1 & \hspace{1.5cm} (I)
\end{array}

Agora iremos substituir $g(x)$ por outra variável; neste exemplo escolhemos $y$:

\begin{array}{c c}
g(x) = y \\
x+2 = y & \quad (II)
\end{array}

Mas $x$ também precisa ser substituído, então ele será isolado na expressão anterior:

\begin{array}{c c}
x+2 = y \\
x = y -2 & \quad (II I)
\end{array}

Levando $II$ e $II I$ à expressão $I$, obter-se-á o seguinte:

\begin{array}{c c l}
f(\underbrace{x+2}) &=& 3x^2 – 10x + 1 \\
f(y)&=& 3(y-2)^2 – 10(y-2) + 1 \\
f(y) &=& 3(y^2 -4y + 4) – 10y + 20 + 1 \\
f(y) &=& 3y^2 -12y + 12 – 10y + 21 \\
f(y) &=& 3y^2 -22y + 33
\end{array}

Assim está determinada a lei da função $f(y)$. Caso deseje, é possível trocar o $y$ de volta para $x$, mas é uma questão puramente estética; poderíamos escolher qualquer letra para obter $f(a)$, $f(k)$ etc.

$$f(x) = 3x^2 -22x + 33$$

Nem sempre a informação é dada de maneira tão distinta:

$$f\left( \dfrac{1}{2x – 1} \right) = 3x – 1 \quad (I)$$

Mas devemos reconhecer a expressão $\dfrac{1}{2x – 1}$ como uma função $g(x)$. Assim, o processo é o mesmo

\begin{array}{r c l c}
\dfrac{1}{2x – 1} &=& y & \quad (II)\\
1 &=& y(2x -1) \\
1 &=& 2xy – y \\
1 + y &=& 2x \\
x &=& \dfrac{1+y}{2} & \quad (II I)
\end{array}

Substituindo $II$ e $II I$ em $I$, obter-se-á:

\begin{array}{c c l}
f\left( \underbrace{\dfrac{1}{2x – 1} }\right) &=& 3x – 1 \\
f(y) &=& 3 \left ( \dfrac{1+y}{2} \right) – 1 \\
f(y) &=& \dfrac{3 + 3y}{2} – \dfrac{2}{2} \\
f(y) &=& \dfrac{1 + 3y}{2}
\end{array}

Se a função envolver o logaritmo, iremos utilizar suas propriedades para fazer os passos necessários.

$$f \left( \dfrac{3x}{4} \right) = \log_3 (x)^2 \quad \;(I)$$

A expressão $\dfrac{3x}{4}$ deve ser reconhecida como uma $g(x)$.

\begin{array}{r c l c}
\dfrac{3x}{4} &= & y & \quad (II)\\
3x &=& 4y \\
x &=& \dfrac{4y}{3} & \quad (II I)
\end{array}

Substituindo $II$ e $II I$ em $I$, obter-se-á:

\begin{array}{c c l}
f \left( \underbrace{ \dfrac{3x}{4}} \right) &=& \log_3 (x)^2 \\
f(y) &=& \log_3 \left( \dfrac{4y}{3} \right)^2 \\
f(y) &=& 2 \cdot \log_3 \left( \dfrac{4y}{3} \right) \\
f(y) &=& 2 \cdot (\log_3 4 + \log_3 y – \log_3 3) \\
f(y) &=& 2 \cdot (\log_3 y + \log_3 4- 1) \\
f(y) &=& 2\log_3 y + 2\log_3 4- 2
\end{array}