Teoria Função composta

Naturalmente, dado um elemento $a \in D_f$, para calcular-se $g(f(a))$ seria necessário calcular o resultado de $f(a)$ e depois calcular a função $g$ neste resultado
$$g(f(a)) = g(b) = c$$

Mas conhecendo a regra da função composta, podemos calcular o resultado $c$ diretamente a partir de $a$ sem nem conhecer o valor do resultado intermediário $b$, como se fosse um “atalho”.
$$g \circ f (a) = c$$

Observações

• Se $Im_g \subset D_f$ também é possível calcular a função composta $f \circ g$, que não necessariamente é igual a $g \circ f$.

Dadas três funções $f$, $g$ e $h$ podemos, por exemplo, obter a composta:
$$h \circ g \circ f = h(g(f(x))),$$

desde que $Im_f \subset D_g$ e $Im_g \subset D_h$. Isto equivale a calcular o resultado de $f$ em $x$, aplicar este valor em $g$, obter um novo resultado e depois aplicar este em $h$.

Para mais funções, o conceito e as condições são as mesmas.

É possível compor uma função $f$ consigo mesma desde que $Im_f \subset D_f$. Nestas condições definimos a potência $n \in \mathbb{N}$ da função $f$ como sendo:

$$f^n = \underbrace{f \circ f \circ … \circ f}_{n \text{ vezes}}$$

Em particular, qualquer função elevada a zero resulta na função identidade:

$$f^0(x) = x$$