Teoria Função composta

Dadas uma função composta $f \circ g(x)$ e a função “de fora” $f(x)$ é possível determinar a função $g(x)$. Para isso, basta tratá-la como uma incógnita $g$ e aplicá-la na função $f$; depois, igualamos à função $f \circ g$ dada e isolamos $g$.

$$f \circ g(x) = f(g(x)) = f(g)$$

$f(x) = \sqrt{x +3} \\ f \circ g (x) = 2x – 1$

\begin{align}
f(g) = \sqrt{g + 3} &= 2x – 1 \\
\left( \sqrt{g + 3} \right )^2 & = (2x-1)^2 \\
g + 3& = 4x^2 -4x + 1 \\
g(x) &= 4x^2 – 4x – 2
\end{align}

$ \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} + 1 \\ f \circ g(x) = x$

\begin{align}
f(g) = \frac{1}{g} + 1 &= x \\
\frac{1}{g} & = x – 1 \\
g(x) & = \frac{1}{x-1}\\
\end{align}

Se as funções dadas forem exponenciais, devemos utilizar suas propriedades para executar os passos necessários.

$f(x) = 4^x \\ f \circ g (x) = 2^{x-1}$

\begin{align}
f(g) = 4^g &= 2^{x-1} \\
(2^2)^g &= 2^{x-1} \\
2^{2g} &= 2^{x-1}\\
2g &= x-1 \\
g(x) &= \dfrac{x-1}{2}
\end{align}