Teoria Função exponencial

$$ a^x = a^y \quad \Leftrightarrow \quad x = y$$

Uma das maneiras de se resolver uma equação exponencial é colocando os dois lados da igualdade em uma mesma base. Assim, podemos igualar os expoentes e solucionar a equação.

$$
2^x = 16 \\
2^x = 2^4 \\
x = 4
$$

$$
3^x = 27 \\
3^x = 3^3 \\
x = 3
$$

$$ 100^x = 1000 \\
(10^2)^x = 10^3 \\
10^{2x} = 10^3 \\
2x = 3 \\
\quad x = \dfrac{3}{2}$$

Primeiro, vamos isolar a potência $2^k$, passando o $4$ dividindo do lado direito; depois igualamos as bases.

$$
2^k \cdot 4=32 \\
2^k = \dfrac{32}{4} \\
2^k = 8 \;\\
2^k = 2^3 \\
k=3$$

Vamos resolver a equação exponencial $3^{x + 1} – 3^{x} – 3^{x – 1}=45$.

Repare que podemos reescrever esta equação conforme abaixo:

$$3^{x} \cdot 3^{1} – 3^{x} – \frac{3^{x}}{3}= 45 $$

Primeiro, vamos fatorar a expressão:

\begin{align}
3^{x} \cdot (3 – 1 – \frac{1}{3}) &= 45 \\ \\
3^{x} \cdot ( \frac{5}{3} ) &=45 \\ \\
3^{x} &= 27 \\ \\
3^{x} &= 3^{3}
\end{align}

E como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes. Logo, $x= 3$.

Dada a equação $3^{2x + 2} – 3^{x + 3} = 3^{x} – 3$, vamos resolvê-la.

Usando as propriedades da Potenciação, podemos reescrever:

\begin{align}
3^{2x} \cdot 3^{2} – 3^{x} \cdot 3^{3} &= 3^{x} – 3 \\
(3^{x})^{2} \cdot 3^{2} – 3^{x} \cdot 3^{3} &= 3^{x} – 3
\end{align}

E substituindo $3^{x} = t$,

\begin{align}
t^{2} \cdot 3^{2} – t \cdot 3^{3} &= t – 3 \\
9t^{2} – 27t – t + 3&=0 \\
9t^{2} – 28t+ 3&=0
\end{align}

Através do Método de Bhaskara, determinamos as raízes $t_{1} = 3$ e $t_{2} = \frac{1}{9} $.

E substituindo os valores de $t_{1}$ e $t_{2}$, reescrevemos a equação exponencial de mesma base $3$:

\begin{align}
3^{x} &= 3 &\Rightarrow x&=1 \\
3^{x} &= \frac{1}{9}= 3^{ – 2} &\Rightarrow x&= – 2 \\
\end{align}