Teoria Função exponencial

Como vimos a função exponencial tem a característica de nunca atingir certo valor (geralmente, ela nunca atinge $y = 0$, mas há outros casos).

A função exponencial é conhecida também por crescer ou decrescer muito rápido. Além disso, ela não altera seu comportamento: ou ela é só crescente ou é só decrescente (diferente da função de 2º grau por exemplo).

Veremos o gráfico da função exponencial elementar $y = a^x$ e algumas possíveis modificações.

Esta é a função exponencial elementar, sem modificações. Só há duas possibilidades para esta função:

• se $a >1$ então a função é crescente:

• se $0 < a < 1$ então a função é decrescente:

Obs.: Esta função sempre corta o eixo $y$ no valor $y = 1$, não importa o valor do $a$; isto se explica trocando o $x = 0$ na função $y = a^x$

$$y = a^0 \\ y = 1$$

Qualquer número (exceto o $0$) elevado a $0$ dá $1$.

Obs. 2: O gráfico parece que encosta no eixo $x$ mas isso não ocorre realmente, é uma questão de escala do gráfico; na seção anterior explicamos que $a^x$ nunca dá $0$.

Se $b > 0$, os gráficos não se alteram de maneira significativa. Em vez de o gráfico cortar o eixo $y$ em $y= 1$, agora corta no $y = b$.

• $a > 1$

• $0 < a < 1$

Mas se $b <0$ (for negativo) então os gráficos são “rebatidos” pra baixo:

• $a >1$

• $0 < a < 1$

De maneira geral, quando somamos uma constante $c$ positiva a uma função, o gráfico desta função “sobe” $c$ unidades:

• Gráfico de $y = a^x + c$, com $a > 1$:

O valor que a função nunca atinge (assíntota) será $y = c$; e o gráfico irá cortar o eixo $y$ no valor $y = 1 + c$

Se subtraímos $c$ de uma função, seu gráfico “desce” $c$ unidades:

• Gráfico de $y = a^x- c$, com $a > 1$

Então sua assíntota será $y = 1- c$ e cruza o eixo $y$ no ponto $y =- c$.

Perceba que desta maneira a função cruza o eixo $x$! Então, fazendo algumas modificações, a função exponencial pode possuir raiz!

A função exponencial decrescente também pode ser modificada somando ou subtraindo uma constante, e a regra de “subir” e “descer” o gráfico é a mesma.

Imagine uma cidade com $100.000$ habitantes que cresça à taxa de $5 \%$ ao ano.

$ a )$ Faça uma tabela para representar a população dessa cidade daqui a um, dois, três, quatro e cinco anos (contados a partir desta data).

Vamos construir a tabela considerando as informações acima:

$t=1$: $100.000$ + $0,05 \cdot 100.000=105.000$
$t=2$: $105.000$ + $0,05 \cdot 105.000=110.250$
$t=3$: $110.250$ + $0,05 \cdot 110.250=115.762$
$t=4$: $115.762$ + $0,05 \cdot 115.762=121.550$
$t=5$: $121.550$ + $0,05 \cdot 121.550=127.627$

$ b )$ Qual é a lei da função que representa o número de habitantes $(y)$ que essa cidade terá daqui a $x$ anos?

Para encontrarmos a lei da função vamos analisar como os dados são obtidos:

$t=1$: $100.000$ + $0,05 \cdot 100.000=1,05 \cdot 100.000$
$t=2$: $105.000$ + $0,05 \cdot 105.000=1,05^{2} \cdot 100.000$
$t=3$: $110.250$ + $0,05 \cdot 110.250=1,05^{3} \cdot 100.000$

E assim por diante …

Logo, para $t=x$, $y=1,05^{x} \cdot 100.000$

Seja $f$ a função dada pela lei $f(x)=10^{x}$, para todo $x$ $\in$ $\mathbb{R} $, e considere $a$ e $b$ números reais quaisquer.
Assinale $V$ ou $F$ nas afirmações seguintes:

$a)$ $f(2a) = 2 \cdot f(a)$
$b)$ $f(a + b) = f(a) \cdot f(b)$
$c)$ $f(a)= f( – a)$

$a)$ Dada a lei $f(x)=10^{x}$, vamos determinar $f(2a)$ e $f(a)$.

\begin{align}
f(x) &=10^{x} \\
f(2a) &=10^{2a}=(10^{a})^{2} \\ \\
f(a) &=10^{a}
\end{align}

Repare que $f(2a)=(f(a))^{2}$ . Logo, esta alternativa é Falsa F.

$b)$ Dada a lei $f(x)=10^{x}$, vamos determinar $f(a + b)$ e $f(a) \cdot f(b)$. Vamos lá !

\begin{align}
f(x) &=10^{x} \\
f(a + b) &=10^{a + b} \\ \\
f(a) &=10^{a} \\
f(b) &=10^{b} \\
f(a) \cdot f(b) &=10^{a} \cdot 10^{b}=10^{a + b}
\end{align}

Neste caso, $f(a + b) = f(a) \cdot f(b)$, ou seja, a alternativa é Verdadeira V.

$c)$ Como $f(x)=10^{x}$, vamos determinar $f(a)$ e $f( – a)$.

\begin{align}
f(x) &=10^{x} \\
f(a) &=10^{a} \\ \\
f( – a) &=10^{ – a}= \frac{1}{10^{a}} \\
\end{align}

Como $f(a) \neq f( – a)$, a alternativa é Falsa F.