Teoria Função exponencial

Para resolver uma inequação exponencial a ideia é a mesma da equação exponencial: colocar os dois lados em uma mesma base. Assim, podemos trabalhar apenas com os expoentes.

Se a base for maior que $1$, então mantemos a desigualdade. Mas aí vem a diferença: se as bases forem um número entre $0$ e $1$, então o sinal da desigualdade muda!

Se $a>1 :\quad a^x > a^y \quad \Leftrightarrow \quad x > y$

E se $0<a<1 : \quad a^x > a^y \quad \Leftrightarrow \quad x < y$

$$
2^x \geq 32 \\
2^x \geq 2^5 \\
x \geq 5
$$

Observe que nesse caso não trocamos o sinal da desigualdade, pois a base era maior que $1$.

$$
\begin{align}
(0,000001)^x \leq & \; 0,01 \\
(10^{-6})^x \leq & \; 10^{-2} \\
10^{-6x} \leq & \; 10^{-2} \\
\end{align}
$$

Neste caso os expoentes são negativos, mas isso não muda nada; o que importa são as bases $10$, que são maiores que $1$, então a desigualdade não muda.

$$
\begin{align}
-6x \leq & \; -2 \quad \cdot (-1) \\
6x \geq & \; 2 \\
x \geq & \; \dfrac{2}{6}^{\div2}_{\div2} \\
x \geq & \; \dfrac{1}{3}\\
\end{align}$$

Primeiro, note que $0,09 = 0,3^2$

$$
(0,3)^x < 0,09 \\
\; (0,3)^x < (0,3)^2 \\
$$

Agora, como as bases são $0,3$, menores que $1$, então a desigualdade troca:

$$
\quad x > 2
$$

Agora parece que ficou um pouco mais complicado, não é?

Para resolver este exercício, precisamos lembrar que qualquer número (não-nulo) elevado a $0$ resulta em $1$; inclusive o $12 \ 345$:

\begin{align}
12 \ 345^{3x+15} &> 1 \\
12 \ 345^{3x+15} &> 12 \ 345^0 \\
3x + 15 &> 0 \\
3x &>- 15 \\
x &>- \dfrac{15}{3} \\
x &>- 5
\end{align}

$$2^{6x+1} \cdot 8^{-x+7} < \dfrac{1}{16}$$

A ideia que vamos usar é a mesma: deixar todos as potências na mesma base e juntá-las. Para entender os passos você precisa conhecer as propriedades de potência!

\begin{align}
2^{6x+1} \cdot 8^{-x+7} <& \; \dfrac{1}{16} \\
2^{6x+1} \cdot (2^3)^{-x+7} <& \; \dfrac{1}{2^4} \\
2^{6x+1} \cdot 2^{-3x+21} <& \; 2^{-4} \\
2^{6x+1-3x+21} <& \; 2^{-4} \\
2^{3x+22} <& \; 2^{- 4} \\
3x+22 <&- 4 \\
3x <& – 4- 22 \\
3x <& – 26 \\
x <&- \dfrac{26}{3}
\end{align}