Teoria Função inversa

Dada uma função $y = f(x)$ bijetora, para encontrar sua inversa $f^{-1}(x)$ basta seguir os passos:

1- Trocar $y$ por $x$ e o $x$ por $y$ na lei da função;
2 – Isolar o $y$;
3 – Denotar o $y$ como $f^{-1}(x)$.

Parece meio confuso? Vamos ver alguns exemplos na prática.

Primeiro vamos escrever $y$ no lugar de $f(x)$:

$$y = 3x- 1$$

Agora vamos começar o processo de inversão trocando $y$ por $x$ e vice-versa:

$$x = 3y- 1$$

Então é só isolar o $y$:

$$x + 1 = 3y \\
3y = x + 1 \\
y = \dfrac{x + 1}{3}$$

Portanto,

$$f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3}$$

Vamos começar pelo cálculo da lei da função inversa; escrevemos $y$ no lugar de $f(x)$ e depois trocamos o $y$ por $x$ e vice-versa:

$$y = \dfrac{x}{x-2} \\
x = \dfrac{y}{y- 2} \\
x \cdot (y- 2) = y \\
xy- 2= y$$

Esta não é uma situação muito comum para quem não está acostumado com equações literais. Vamos manter o foco em isolar o $y$, então passamos todos os $y$ para o mesmo lado e o resto para o outro lado:

$$xy- y = 2$$

Agora, é necessário fazer uma fatoração pelo fator comum para terminar de isolar o $y$:

$$y(x- 1)= 2 \\
y = \dfrac{2}{x-1}$$

Portanto:

$$f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x- 1}$$

Mas é importante também saber o domínio e o contradomínio da função para que ela possua inversa.

$$f:A \rightarrow B$$

Observe que é necessário retirar o valor $x=2$ do domínio de $f$ para que o denominador não seja $0$. Qualquer outro real é válido.

$$x-2 \neq 0 \\
x \neq 2$$

$$A = \mathbb{R}-\{ 2 \}$$

Para descobrir o conjunto B (imagem de $f$ e domínio de $f^{-1}$), vamos utilizar o fato de que ele é domínio da função inversa.

O denominador da inversa não pode ser nulo, portanto:

$$x- 1 \neq 0 \\
x \neq 1$$

Então:

$$B = \mathbb{R}- \{ 1 \}$$

Vamos começar encontrando a lei da função inversa:

$$y = 1 + \sqrt x \\
x = 1 + \sqrt{y} \\
x- 1 = \sqrt{y} \\
(x- 1)^2 = \sqrt{y}^2 \\
x^2- 2x + 1 = y$$

Portanto $f^{-1}(x) = x^2- 2x + 1$.

Agora vamos pensar no domínio e imagem da função.

Primeiramente, repare que $D_f = \mathbb{R}_+$, pois o que está dentro da raiz quadrada deve positivo:

$$x \geq 0$$

Então agora vamos pensar na imagem. O menor valor de $x$ que podemos usar é $0$, então:

$$f(0) = 1 + \sqrt 0 \\
f(0) = 1$$

Além disso, perceba que $f$ é uma função crescente: quanto maior o $x$, maior vai ser a raiz e maior vai ser o valor da imagem.

Então: $Im_f = [1, + \infty)$

Assim, definiremos $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow [1, + \infty)$.

Se quisermos pensar no domínio da função inversa, ele deve ser a imagem de $f$, e o contradomínio de $f^{-1}$ deve ser o domínio de $f$.

$$f^{-1}: [1, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}_+$$